數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

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(杭州市基礎(chǔ)教育研究室,浙江 杭州 310003)

數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

●王紅權(quán)

(杭州市基礎(chǔ)教育研究室,浙江 杭州 310003)

數(shù)列是歷年數(shù)學(xué)高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，浙江省的數(shù)列試題既重視基礎(chǔ)又強(qiáng)調(diào)關(guān)聯(lián)，客觀題立意概念的本質(zhì)，綜合性試題對學(xué)生的素養(yǎng)要求很高，不僅要有較強(qiáng)的估算和運(yùn)算能力，還要求有敏銳的判斷力．文章舉例分析近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考對數(shù)列的考查，列舉所考查的內(nèi)容、常用方法和命題方向等．

復(fù)習(xí)備考;數(shù)列；數(shù)學(xué)歸納法；不等式

1 知識內(nèi)容

數(shù)列和數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容涵蓋：數(shù)列的概念和表示法；等差和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和求和公式、與一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系、簡單應(yīng)用；可以利用錯位相減法求和的數(shù)列；數(shù)學(xué)歸納法等．

2 命題分析

2012—2017年數(shù)列試題題量、總分值和知識點(diǎn)的分布如表1所示.

表1 2012—2017年數(shù)列試題題量、總分值和知識點(diǎn)的分布情況

從表1觀察，數(shù)列試題考查內(nèi)容較為穩(wěn)定，涉及等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式，可化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列求和、數(shù)列的遞推公式以及不等式相關(guān)的綜合性問題等．但從總分值分布的角度看，隨年份的波動較大；從題型分布看，也具有較大的不確定性．

從題目功能看，選擇題一般考查對概念的理解，要求考生判斷出正確的選項(xiàng)，不需要做過多的運(yùn)算；填空題則要求在理解概念的基礎(chǔ)上，選擇適當(dāng)?shù)乃惴ú⒄_求解；解答題則強(qiáng)調(diào)綜合，但2012—2014年和2015—2017年的試題存在顯著的差異，前者命題的立意以數(shù)列基本性質(zhì)的綜合為主，后者則以遞推公式為基礎(chǔ)，主要考查的是不等式的性質(zhì)，綜合性和難度顯著提高．

3 典題剖析

考點(diǎn)1等差和等比數(shù)列的基本問題.

以等差和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和求和公式為基礎(chǔ)，利用基本量法求解，是高考考查數(shù)列內(nèi)容的方向之一．這類問題要求考生熟悉定義，合理選擇，計(jì)算準(zhǔn)確．

例如：復(fù)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，理解等差數(shù)列基本問題的求解策略：“知三求二”．例1以表格的形式給出問題，可以更直觀地感知基本量是求解等差數(shù)列問題的基本方法．等比數(shù)列類似．

例1[1]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，根據(jù)表2中已有的信息完成其他信息．

表2 等差數(shù)列{an}的相關(guān)信息

( )

A．60 B．62 C．63 D．66

圖1

(2014年浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)考試題第22題)

2)如圖1，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，其中n∈N*；|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,其中n∈N*,P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合．若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積，則

( )

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

3)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4+S6>2S5”的

( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第6題)

分析這類問題可以選擇利用定義和基本量計(jì)算進(jìn)行解決，但性價比不高．

圖2

2)由三角形的面積想到高線，由于所有的三角形都等底，因此只需要考查圖2中的高線hn組成的數(shù)列{hn}，根據(jù)圖2，顯然{hn}是等差數(shù)列，這便是等差數(shù)列的幾何模型，直觀而且本質(zhì)．

3)思路1已知條件可變形為

S4-S5>S5-S6，

即

a5

從而d>0，反之亦然.故選C．

思路2已知條件可變形為

學(xué)習(xí)數(shù)列當(dāng)從數(shù)入手，利用代數(shù)手段精準(zhǔn)刻畫其變化規(guī)律，利用其函數(shù)背景揭示數(shù)列的本質(zhì)，特別是等差數(shù)列還可以輔之以幾何直觀幫助理解，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系[2]．第1)小題和第2)小題較好地考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的線性特征，其中第1)小題從函數(shù)的角度給出了刻畫，第2)小題用幾何直觀加以刻畫，深刻而本質(zhì)；第3)小題用函數(shù)對等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式給出了函數(shù)刻畫，揭示其非線性特征．只要深刻理解其本質(zhì)，并不依賴計(jì)算，這也是浙江卷選擇題的最大特點(diǎn)．

考點(diǎn)2可化為等差和等比數(shù)列的問題.

由遞推公式得出數(shù)列變化規(guī)律是解決數(shù)列問題的常見方法之一，若題干中出現(xiàn)了一般數(shù)列的遞推公式，則可以考慮轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的遞推公式.常見的有兩類：一類是低階線性遞推關(guān)系；另一類是以分式形式出現(xiàn)的遞推關(guān)系，通過適當(dāng)?shù)淖冃危苫癁榫€性遞推或直接轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列．

例31)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足：a1=-1，b1=2，an+1=-bn，bn+1=2an-3bn(其中n∈N*)，則b2 015+b2 016=______．

bi+2+bi+1=-2(bi+1+bi),

從而數(shù)列{bi+1+bi}是以b1+b2=-6為首項(xiàng)、-2為公比的等比數(shù)列，于是

b2 015+b2 016=-6×(-2)2 015=3×22 016．

2)由已知得到

從而

即

類似地，有

即

兩邊取對數(shù)，得

因此

即

故取jn=2n-1即可．

注適當(dāng)?shù)淖冃问墙鉀Q這類問題的關(guān)鍵，往什么方向變形，心中要有基本的模型，如線性遞推an+1=an+p可以構(gòu)造等比數(shù)列，分式形式兩邊取倒數(shù)可以構(gòu)造等差或等比數(shù)列，指數(shù)形式an+1=panq(其中p>0，an>0)兩邊取對數(shù)可以構(gòu)造等比數(shù)列．

考點(diǎn)3數(shù)列與不等式相關(guān)的問題.

數(shù)列是特殊的函數(shù)，函數(shù)的很多性質(zhì)需要用不等式加以刻畫，數(shù)列和不等式結(jié)合的相關(guān)問題在近3年浙江省數(shù)學(xué)高考命題中均作為壓軸題出現(xiàn)，考查的重心由數(shù)列常用性質(zhì)轉(zhuǎn)移到遞推公式的復(fù)雜變形和不等式的證明．

(2016年浙江省杭州市第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第18題)

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

所以數(shù)列{an}單調(diào)遞增，從而an≥a1=1，于是

即

事實(shí)上，

(1)

即

(a1-a2)+…+(an-an+1)=

同第1)小題分析可知

所以

累加得

從而

an-an+1≥anan+1，

即

累加得

即

由第①小題得an≤2an+1，

從而

即

累加得

于是

即

注1第1)小題和第2)小題雖然都是構(gòu)建“差結(jié)構(gòu)”，但兩個問題之間還是有區(qū)別的:第1)小題是通過恒等變形建構(gòu)“差結(jié)構(gòu)”;第2)小題既可以通過恒等變形建構(gòu)，也可以通過放縮獲得中間結(jié)構(gòu)，然后化為“差結(jié)構(gòu)”,其實(shí)這樣的放縮更接近浙江省數(shù)學(xué)高考試卷中的數(shù)列不等式證明的本質(zhì)，如2008年和2017年的浙江省數(shù)學(xué)高考壓軸題是完全一樣的思路．當(dāng)然第2)小題也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，請讀者自己完成．

注2沒有“差結(jié)構(gòu)”就沒有“前n項(xiàng)和”，換言之，在遞推公式立意的試題中，有“和”就需要關(guān)注“差結(jié)構(gòu)”．

4 精題集萃

1．若一個等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個數(shù)列有

( )

A．13項(xiàng) B．12項(xiàng) C．11項(xiàng) D．10項(xiàng)

2．某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次(一次分裂為兩個)，經(jīng)過3個小時，這種細(xì)菌由一個可以繁殖成

( )

A．511個 B．512個 C．513個 D．1 024個

3．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)的和．若正整數(shù)i，j，k，l滿足i+j=k+l(其中i≤k≤l≤j)，則

( )

A．a(chǎn)ial≤ajakB．a(chǎn)ial≥ajak

C．SiSl≤SjSkD．SiSl≥SjSk

4．已知等差數(shù)列{an}，等比數(shù)列{bn}的公比為q(其中n，q∈N*)，設(shè){an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn．若T2n+1=Sqn，則an=______．

5．已知數(shù)列{xn}，滿足(n+1)xn+1=xn+n，且x1=2，則x2 018=______．

1)證明：an

參考答案

1．A 2．D 3．A

6．證明1)易知an>0，從而

于是

進(jìn)而

因此，當(dāng)n≥2時，

故

an<1.

an<1(其中n∈N*)，

于是

an

2)當(dāng)n=1時，顯然成立．由an<1，知

從而

即

因此，當(dāng)n≥2時，

即

故

4+4×49=200.

200+200=400,

因此

a50+b50>20．

[1] 鄔建云，王紅權(quán)．“等差數(shù)列”習(xí)題課的教學(xué)實(shí)踐[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2015(12)：25-30．

[2] 王紅權(quán)，王凱．聚焦新特點(diǎn) 研究新策略——2017年浙江省數(shù)學(xué)新高考復(fù)習(xí)備考研究[J]．教學(xué)月刊，2017(5)：47-52．

收文日期：2017-10-30；

2017-12-02

王紅權(quán)(1970-)，男，浙江杭州人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.4

A

1003-6407(2018)03-0037-05