一份“函”意深刻的純凈的中考卷
——談2017年浙江省杭州市中考函數試題的特點

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(上城區教育學院,浙江 杭州 310009)

一份“函”意深刻的純凈的中考卷
——談2017年浙江省杭州市中考函數試題的特點

●金紅江

(上城區教育學院,浙江 杭州 310009)

文章研究2017年浙江省杭州市中考函數試題，發現3個特點：函數問題更多地體現變化中的不變性；關注初中研究數學問題的一般方法；函數作為模型，是考查應用性問題的主要載體．思考試題背后的核心素養，理清初中階段函數教學的4個問題，最后給出3點建議．

中考;函數;模型;解析化;一般方法

函數是初中數學的核心內容，也是抽象、模型、對應思想的主要載體，是高中函數的基礎，也是學生學習的難點之一[1].縱觀浙江省杭州市2017年的函數中考試題，有效地落實了《義務教育數學課程標準(2011版)》(以下簡稱《課標》)的基本理念，充分體現對學生核心素養的考查，更好地發揮中考試題對教學的導向作用.

1 試題的特點

2017年浙江省杭州市中考數學試卷中，第9，18，20，22，23題涉及到函數問題，特別是解答題，7道大題中有3道大題直接考查函數，1道大題涉及函數，共32分，約占解答題總分的一半，以至于有人戲稱是一份“函”意深刻的試卷．細細品味這些試題，不只是分值占得多的問題，更重要的是試題透著“純凈”，體現出命題者對初中函數的透徹理解.

1.1 函數問題更多地體現變化中的不變性

函數問題是浙江省杭州市中考試題中標志性的問題，它的特征是系數中含有一個字母參數，實質上表示一簇拋物線(二次項系數不為0時)，如果給定具體的參數，它就表示一個具體函數．因此，這簇拋物線就可以看成是由一個個具體的滿足條件的拋物線所組成的集合，既然是集合，就要研究滿足集合所有條件對象的共同性質．于是對于這簇拋物線來說，隨著參數的變化，就要研究其不變的性質，這就是“變化中不變性”的由來．筆者以例1為例，談談其特征：

例1在平面直角坐標系中，設二次函數y1=(x+a)(x-a-1)，其中a≠0．

1)若函數y1的圖像經過點(1，-2)，求函數y1的表達式；

2)若一次函數y2=ax+b的圖像與y1的圖像經過x軸上同一點，探究實數a，b滿足的關系式；

3)已知點P(x0，m)和Q(1，n)在函數y1的圖像上,若m

(2017年浙江省杭州市數學中考試題第22題)

例2設直線x=1是函數y=ax2+bx+c(其中a，b，c是實數，且a<0)的圖像的對稱軸，則

( )

A．若m>1，則(m-1)a+b>0

B．若m>1，則(m-1)a+b<0

C．若m<1，則(m+1)a+b>0

D．若m<1，則(m+1)a+b<0

(2017年浙江省杭州市數學中考試題第9題)

解法1由函數圖像可知，當x=1時，函數值最大.因此當m≠1時，

am2+bm+c

即

a(m+1)(m-1)+b(m-1)<0,

亦即

(m-1)[a(m+1)+b]<0,

因此當m<1時，a(m+1)+b>0.

解法2由b=-2a，得

(m+1)a+b=(m+1)a-2a=(m-1)a,

若m<1，則(m-1)a>0,從而

(m+1)a+b>0.

以上兩種解法，首先確定對稱軸直線x=1的不變性，然后選擇解題路徑：解法1是二次函數最值的圖像表達，由因式分解實現；解法2是二次函數最值的靜態表達，由不等式實現.

當然，近3年此類函數問題中，在涉及到“變化”中的“不變性”時，也是有發展的．2015年第20題是通過學生畫圖，去尋求圖中“不變的點”；2016年第22題，當“函數y2的圖像經過y1的頂點”時，“求證：2a+b=0”，這個“2a+b=0”就意味著它的對稱軸是不變的，此時不變的量由“點”變成了“線”；2017年第22題的第3)小題，就需要利用對稱軸的不變性來畫出圖像，從而得到最簡單快捷的思路．

因此，在浙江省杭州市數學中考卷中涉及到這類熱門問題的考查時，往往需要考生從“特殊—一般—特殊”的順序去研究．當然，必須清楚，將這類函數放在平面直角坐標系后，變化中的“不變性”會有很多，而中考試題大多是跟函數相關的“不變性”而非幾何不變性，這也是命題者對初中函數知識的深入理解．

1.2 關注初中研究數學問題一般方法

2017年浙江省杭州市中考試題另一個顯著特點，就是關注研究數學問題一般方法的考查．

例3點點同學通過畫圖和測量得到的近似數據如表1所示：

表1 α，β，γ的大小

請猜想β關于α的函數表達式，γ關于α的函數表達式，并給出證明.

(2017年浙江省杭州市數學中考試題第23題第1)小題)

例4在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b(其中k，b都是常數，且k≠0)的圖像經過點(1，0)和(0，2)．

1)當-2

2)已知點P(m，n)在該函數的圖像上，且m-n=4，求點P的坐標．

(2017年浙江省杭州市數學中考試題第18題)

對于例3，在問題背景下塑造了一個會學習的孩子“點點”這樣一個人物，由他帶著考生經歷“畫圖—測量—列表記錄—猜想—證明”的數學學習過程，體現了數學研究的一般方法.

對于例4，在解題背景下，讓學生經歷了“表達式—圖像—性質—應用”的數學學習過程，體現了函數研究的一般方法，折射出對學生“數學建?！彼仞B的滲透.

1.3 函數作為模型，是考查應用性問題的主要載體

函數是刻畫現實世界事物變化規律的一種數學模型，因此，它往往會以應用性問題為背景進行考查．

例5在面積都相等的所有矩形中，當其中一個矩形的一邊長為1時，它的另一邊長為3．

1)設矩形的相鄰兩邊長分別為x，y，

①求y關于x的函數表達式；

②當y≥3時，求x的取值范圍.

2)圓圓說其中有一個矩形的周長為6，方方說有一個矩形的周長為10，你認為圓圓和方方的說法對嗎？為什么？

(2017年浙江省杭州市數學中考試題第20題)

本題利用“面積相等的矩形，相鄰兩邊長的關系”為背景，考查反比例函數模型．筆者仔細研究近3年的數學中考試題發現，函數作為模型，是經?？疾榈臒衢T的應用性問題，如2015年的第23題以行程問題為背景，考查勻速直線運動的一次函數模型；2016年的第20題以豎直上拋運動為背景，考查勻變速直線運動的二次函數模型．

2 試題背后的思考

2017年浙江省杭州市中考函數試題呈現的3個特點，體現了命題者對數學、學生、教學的理解，折射出對當今數學素養教學的思考；體現了數學教學不僅要傳授知識、培養能力、領悟思想，更重要的是掌握核心素養，發展情感態度，立德樹人．

具體地說，變化中的不變性，是研究運動問題的一般方法，是發展學生“數學抽象”“邏輯推理”的集中體現．函數作為模型的考查以及“關注研究問題的一般方法”均是“數學建模”的集中體現[2]，是培養學生應用意識的重要載體．

正因如此，作為一線教師，應抓住試題特點，明確命題背后的導向．在關注素養、理解數學、理解教學、理解學生的背后，明確“什么該講，什么不該講；什么時候講，講什么”，具體理清以下4個問題：

2.1 什么是函數解析化問題

解析就是用坐標去刻畫點的位置，然后用方程的理論來研究幾何圖形的位置關系和數量關系.通俗地說，把函數當函數用，這就是研究函數；把函數當方程用，這就是解析．因為對于函數來說對應的是圖像(給定x,對應的y是唯一的)，方程對應的是圖形(可以是一對一，也可一對多)．解析化不是初中研究函數的常用方法，因此，解析化問題不是初中掌握函數知識的核心內容．

2.2 函數方程不等式要學到什么程度

對于函數與方程不等式的聯系問題，因為一元二次不等式、二元二次方程組在初中不作要求，所以在雙曲線或者拋物線背景下，復雜的代數推演不作要求．唯有一次函數，它與一次不等式、二元一次方程組的聯系，是作要求的，因為這些內容在初中階段是學過的，《課標》中也有“體會一次函數與二元一次方程的關系”這一條[3]，所以直線與其他幾何知識相結合的簡單題目，是要求掌握的．

2.3 什么是“特殊—一般—特殊”

函數問題中的“特殊—一般—特殊”，是指先通過幾個特殊函數，研究出函數問題的一般性質，然后根據一般性質，去解決特殊問題．它是研究運動變化問題的常用方法．

2.4 什么是初中研究函數的一般方法

初中研究函數的方法和高中研究函數方法是不一樣的，初中是借助幾何(圖像)直觀來研究函數的．初中研究函數的一般方法：函數表達式—畫圖—函數的圖像性質—應用.函數的性質可以分成以下3個部分：1)函數本身的性質，包括單調性、對稱性、周期性；2)借助平面直角坐標系工具后，就會出現與之相關的位置等相關性質；3)函數與方程的關系、函數與一次不等式的關系等．

3 3點建議

3.1 從研究考題上理解數學

首先從研究考題入手，明確考題背后的數學意義．在研究考題時，我們可以想一想：該題考什么？當然，不同的人，對同一個問題，也會有不同的理解．例如：

例6兩個不相等的正數a,b滿足：a+b=2，ab=t-1，設S=(a-b)2，則S關于t的函數圖像是

( )

A.射線(不含端點) B.線段(不含端點)

C.直線 D.拋物線的一部分

(2009年浙江省杭州市數學中考試題第9題)

該題考什么？初中教師認為是考配方，高中教師認為是考函數，大學教師認為是考極化恒等式.連接的紐帶是廣義平方差公式(極化恒等式)：

4xy=(x+y)2-(x-y)2,

這樣就可以把題意理解透徹了．

其次，通過考題進一步明晰考試要求，不要把初中階段不作要求的內容強加給學生,解析化問題不是初中階段的基本方法，因此不要求所有學生都掌握.

3.2 抓住初中研究函數的一般方法

1)對于初中學生來說，研究函數可以從“特殊—一般—特殊”入手，先研究幾個特殊的函數，研究它的不變性，再利用不變性，解決特殊問題．這里的“不變性”是跟函數有關的不變性，而不是跟幾何有關的不變性.例如，對于函數y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)](其中k是常數)，可以先取一些特殊的k，研究相應的特殊的函數，根據這些函數圖像呈現出來的性質，歸納出對于一般k滿足的性質，再利用這些一般的性質，去解決特殊的問題.

2)研究函數的一般方法，就是能根據表達式，畫出圖像，再根據圖像研究函數的性質，最后用于解決實際問題.因此怎樣借助圖像解決實際問題是關鍵．

圖1 圖2

例7已知二次函數y=ax2+bx+c(其中a，b，c為常數，且a≠0)的圖像如圖1所示，當m為何值時，方程|ax2+bx+c|=m有兩個實數解、沒有實數解？方程會有3個、4個實數解嗎？若有，請求出m的值或范圍．

通過圖1，根據對絕對值的理解，引導學生畫出y=|ax2+bx+c|的圖像，如圖2，就可判斷出方程的解即為函數y=|ax2+bx+c|與函數y=m圖像的交點的橫坐標.因此當m=0或m>4時，方程有兩個實數解；當0

3.3 變革學教方式，發展學生素養

對于中考而言，大多數試題都是站在理解數學的基礎上進行命制的.如果還是一味地通過刷題、講題來訓練培養學生的解題能力的話，那么結果肯定是低效或無效的．教師要努力變革學教方式，以此來發展學生的素養．在研究題目的同時，關注題目背后的可復制的方法的教學.比如分析問題得到的一般方法是什么，多讓學生去探索一些關鍵性的概念、法則和定理的得到過程．

因此，在平時的教學中要關注講了什么、是否給學生思考和表達的機會、學生在學習活動中體驗到了什么、獲得了什么經驗等．關注的是“一核二心”：“一核”即以理解數學為核心，“二心”即基于“機會”的“學”和“教”，促進學生的“學”，提升教師的“教”．以打破片面強調時間順序桎梏或功利驅動(答對問題加1分或幫助小組成員一次加1分等)的教學法，研究學生“學”與教師“教”之間相互滲透和互相促進的機理，尋找“學”和“教”和諧自然融合的教學方法．具體做法：課堂結構要有學生立場——學生主體、以學定教；課堂對話要有學生立場——學生先行、交流呈現；課堂生成要有學生立場——尋找本源、講練結合；材料解析要有學生立場——以本為本、研究真題；作業布置要有學生立場——回歸理性、適量分層．

總之，2017年浙江省杭州市中考函數試題，呈現出來的是命題者對函數知識的理解，是對當下核心素養下的數學課堂教學的深入思考，具有很強的導向性．作為教師，面對函數內容時，一定要從初中研究函數的基本方法著手，明確考試內容，強調并落實核心知識，把難度降下來，以此減輕學生過重的學習負擔．

[1] 章建躍.章建躍數學教育隨想錄：上卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2] 林崇德.21世紀學生發展核心素養研究[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[3] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準(2011版)[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

收文日期：2017-11-25；

2017-12-27

金紅江(1979-)，男，浙江建德人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O122.1

A

1003-6407(2018)03-0033-04