積累基本活動經(jīng)驗 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——由“三角函數(shù)與平面向量”測試結(jié)果引發(fā)的思考

●

(靈璧第一中學(xué),安徽 靈璧 234200)

●張 敏

(太倉高級中學(xué),江蘇 太倉 215400)

積累基本活動經(jīng)驗提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——由“三角函數(shù)與平面向量”測試結(jié)果引發(fā)的思考

●鄭良

(靈璧第一中學(xué),安徽 靈璧 234200)

●張敏

(太倉高級中學(xué),江蘇 太倉 215400)

積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必由之路.文章以“三角函數(shù)與平面向量”周測題為載體，揭示學(xué)生共性現(xiàn)象的成因，同時針對教與學(xué)的現(xiàn)狀，結(jié)合教學(xué)實踐給出教學(xué)思考.

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；比較；探究；整體

1 問題提出

近日，筆者所在學(xué)校年級組組織了“三角函數(shù)與平面向量”的周測.在隨后的學(xué)科組教研活動中，幾位年輕教師反映很多測試題(原題或變式)都在課堂上講過，但學(xué)生在測試中卻“答非所問”，并對后續(xù)的教學(xué)充滿困惑與迷茫.數(shù)學(xué)是常識的精微化，學(xué)生的共性學(xué)習(xí)行為往往是教師教學(xué)效果的外在表現(xiàn).如何讓學(xué)生理解并能靈活地運用這些常識(數(shù)學(xué)知識、思想方法等)是數(shù)學(xué)教師面臨的難題：課堂上學(xué)生參與了什么樣的活動，在活動中做了哪些觀察、操作、思考、認(rèn)識與理解；學(xué)生在體驗數(shù)學(xué)活動中產(chǎn)生的知識、技能和思想方法等是否升華為今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解決的經(jīng)驗.下面僅以這次周測中部分試題為例，談?wù)劰P者對相關(guān)問題的理解，不足之處，敬請批評指正.

2 案例剖析

例11)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若B=60°，a=1，b=2，則sinA=

( )

( )

分析(均為學(xué)生的想法，下同)兩個小題均為“已知三角形的兩邊和其中一邊的對角”解三角形，故可用正弦定理或余弦定理解答.

解法2由余弦定理得

c2-c-3=0，

從而

于是

得

又c

A=C=30°，

解法2由余弦定理得

評注雖然例1的兩個小題條件相同，但所求結(jié)論不同(分別為“另一邊的對角的正弦值”與“第三邊”).眾所周知，解決“已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求三角形的其他邊與角”常有兩種途徑：1)先由正弦定理求出另一邊對角的正弦，其次結(jié)合三角形中“大邊對大角”(或內(nèi)角和定理)確定該角，再確定第三個角，最后用正弦定理求出第三邊；2)根據(jù)方程思想用余弦定理求出第三邊，然后分別用余弦(或正弦)定理確定另外兩個角.教師在教授“解三角形”時常告訴學(xué)生：解三角形時，正弦定理適用于“已知兩角與任意一邊”和“已知兩邊和其中一邊的對角”，余弦定理適用于“已知三邊”“已知3個角”和“已知兩邊和其中一邊的對角”，很少引導(dǎo)學(xué)生去思考三角形的確定條件(至少3個獨立的要素)、解三角形為什么只學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理(兩個定理適用范圍囊括了確定三角形的各種情形)、“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形由哪個定理切入等問題，更沒有組織學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中操作、體驗、思辨與提升，取而代之的是讓學(xué)生記住題型與解法，通過大量習(xí)題進(jìn)行“刺激反應(yīng)”(而非理性的模式識別)，試圖在機(jī)械操練中提高運算速度.

與學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生能夠辨識“題型”，在兩個小題中使用同樣的解題程序.對于第1)小題，運用正弦定理直達(dá)目標(biāo)；對于第2)小題，運用余弦定理簡單快捷.教師要引導(dǎo)學(xué)生思考:為什么會出現(xiàn)負(fù)值;其意義是什么;還要讓學(xué)生認(rèn)識到本題的特性“A=C”，否則運用正弦定理事倍功半.學(xué)生對同一張試卷中重復(fù)(相鄰)出現(xiàn)相同問題置若罔聞，反映了學(xué)生的觀察能力、抽象概括能力、探究意識不強(qiáng)，表明了學(xué)生的思維感性有余、理性不足.學(xué)生解題盲目性的根源就在于教師教學(xué)的淺表化、碎片化.

例2在△ABC中，AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是______.

分析已知三角形的兩邊長，要構(gòu)成三角形，則第三邊必在某一范圍內(nèi)，通過三邊又可表示三角形的任意一個內(nèi)角，由第三邊的取值范圍可以求出角的取值范圍.

解法1設(shè)AC=x，由構(gòu)成三角形的條件得1

x2-4xcosC+3=0.

令f(x)=x2-4xcosC+3，則f(x)=0在(1,3)之間有解，從而

f(1)·f(3)<0,(1)

由式(1)，得

48(1-cosC)2<0，

無解；由式(2)得

又0

解法2設(shè)AC=x，由構(gòu)成三角形的條件得1

又0

評注“皮之不存，毛將焉附”，研究函數(shù)的性質(zhì)必先確定其定義域，解法1與解法2如是操作.解法1以x為主元研究函數(shù)f(x)的零點分布，求解過程中不少學(xué)生遺漏了f(x)的一個零點x1=1(或x1=3)，另一個零點x2在(1,3)內(nèi)的情況，也有少數(shù)學(xué)生注意到x1x2=3這個特性.對于含參數(shù)的方程在某區(qū)間有解問題往往可以分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的值域問題，解法2如是操作.由于y=cosx在(0,π)上單調(diào)遞減，從而可建立函數(shù)值與自變量之間的一一對應(yīng)關(guān)系，這也是解法1與解法2備受學(xué)生青睞的原因，正弦定理因為要驗證解的個數(shù)而無人問津，果真如此嗎？形式促使本質(zhì)外顯，本質(zhì)推動形式內(nèi)蘊；直覺誘發(fā)邏輯，邏輯反哺直覺.兩者結(jié)合，相得益彰.教學(xué)時，不應(yīng)當(dāng)犧牲一個而把另一個捧到天上去，應(yīng)當(dāng)把每一個都用到該用的地方.而要做到這一點，就只有注意它們的相互關(guān)系、它們的相互補充[1].

事實上，正弦定理、余弦定理、射影定理是等價的，我們解題時只需“就近上車”.如在△ABC中，A>B，從正弦定理角度有

A>B?sinA>sinB?a>b；

從余弦定理角度有

A>B?cosB>cosA

?(a-b)(a+b+c)(a+b-c)>0

?a>b.

本題中，若將A(其中A>C)視為已知，則問題可轉(zhuǎn)化為“已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”，由例1的分析可知用正弦定理簡單快捷.相比例2，例1的第1)小題只是三角形其中一邊對角的一種特殊情況(固定狀態(tài))，形式不同，本質(zhì)相同，相互聯(lián)系便可構(gòu)建整體，深化認(rèn)知.

解法1由正弦定理得

(3)

(4)

式(3)×sinC-式(4)×cosC，得

即

于是

圖1

解法2如圖1，在邊AB上取一點D，使AD=CD=x，則

∠DCB=∠BCA-∠A.

在△BCD中，由余弦定理得

解得x=5，從而

例4如圖2，某海島上一觀察哨A上午11時測得一輪船在海島北偏東60°的C處，12時20分時測得該輪船在海島北偏西60°的B處，12時40分該輪船到達(dá)位于海島正西方且距海島5千米的E港口，如果輪船始終勻速直線航行，則船速是多少(結(jié)果保留根號)？

圖2 圖3

分析由勻速直線運動的時間比可得其路程之比.利用解析法鎖定點B,C的位置.

則

解法2由題意得BC=4BE.設(shè)BE=x，則BC=4x，由已知得∠BAE=30°.在△AEC中，由正弦定理得

即

在△ABC中，由正弦定理得

即

在△ABE中，由余弦定理得

評注多數(shù)學(xué)生無法通過審題建立條件與結(jié)論的(三角)聯(lián)系導(dǎo)致無的放矢，只能借助解析法，將數(shù)學(xué)推理演變?yōu)閿?shù)學(xué)運算.在解法1中，不少學(xué)生沒有直接運用點B,C各自橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)聯(lián)，而是先設(shè)元后再消元，使得過程冗余.少數(shù)學(xué)生結(jié)合平面幾何知識直接運用點B,C的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，優(yōu)化了解題過程.解法2以∠C為△AEC與△ABC的公共角建構(gòu)相互關(guān)聯(lián)的方程.

3 教學(xué)思考

數(shù)學(xué)教學(xué)不只是教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識、思想方法，還要教會學(xué)生如何思考，即探尋從無到有或從有到優(yōu)的思路，并能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì).史寧中教授認(rèn)為：“通過基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育，不管接受教育的人將來從事的工作是否與數(shù)學(xué)有關(guān)，終極培養(yǎng)目標(biāo)都可以描述為：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.這‘三會’就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).”[2]他還將“三會”具體化：數(shù)學(xué)的眼光就是數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)的思維就是邏輯推理；數(shù)學(xué)的語言就是數(shù)學(xué)模型[2].“三會”是(信息攝入、信息加工、信息輸出)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程凝練的總結(jié).因此，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必由之路.

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是什么？數(shù)學(xué)教育專家及一線數(shù)學(xué)教師均提出不同的看法.如仲秀英老師認(rèn)為：學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗可以理解為學(xué)生從經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動中獲得的感受、體驗、領(lǐng)悟以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識、技能、情感與觀念等內(nèi)容組成的有機(jī)組合性經(jīng)驗[3].而張奠宙先生等認(rèn)為：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是在數(shù)學(xué)目標(biāo)指引下，通過對具體事物進(jìn)行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認(rèn)識[4].

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗有助于學(xué)生數(shù)學(xué)活動的探究、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.積累充足的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).課堂是教學(xué)的主陣地，教師是學(xué)生的引領(lǐng)人.在數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)并落實學(xué)生基本活動經(jīng)驗的積累，教師應(yīng)著眼以下方面.

3.1 深化“三個理解”,奠定教學(xué)基礎(chǔ)

教書育人，其核心是育人.體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是教師將數(shù)學(xué)的精髓(數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)精神等)以易于學(xué)生理解與接受的方式傳遞給學(xué)生.章建躍博士提出“三個理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生和理解教學(xué)，它是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的三大基石，也是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的基礎(chǔ).

如例1與例2中涉及正弦定理與余弦定理(及射影定理)的等價性，若教師沒有理解、掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識，則教學(xué)時只能照本宣科、淺嘗輒止；高中學(xué)生相對于教師來說，其知識匱乏、經(jīng)驗不足、精力分散(還要學(xué)其他科目)、認(rèn)知不完善，教師要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，促進(jìn)學(xué)生的理解.不少學(xué)生沒有認(rèn)識到例1與例2為同類問題，主要是因為其不能從運動變化的角度看問題，抽象思維能力有待提升；為了讓學(xué)生充分認(rèn)識到用正弦定理與余弦定理解決例1與例2的過程繁簡，教師可用思維導(dǎo)圖讓學(xué)生進(jìn)行感受、感知、感悟.

3.2 強(qiáng)化數(shù)學(xué)探究,體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

蒙臺梭利說過：“我聽過了，我就忘了；我看見了，我就記得了；我做過了，我就理解了.”著名教育家布魯納指出探究是教學(xué)的生命線.平鋪直敘的填鴨式教學(xué)只會使課堂成為一潭死水，教學(xué)效果可想而知，反之，教師設(shè)計合理的活動，讓學(xué)生在操作中思考、在合作中交流、在探究中思辨，學(xué)生的思維與認(rèn)知力必定在火熱的思考中得到完善與提升.教師可根據(jù)需要組織活動讓學(xué)生探究問題的一題多解、一題多變、多題一解，探究數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)構(gòu)建系統(tǒng)化的知識體系等.

探究過程需要良好的環(huán)境，“紀(jì)律和自由是一件事物不可分的兩部分——猶如一枚銅幣的兩面”[5].教師要控制良好的自由；探究目標(biāo)要適切，要根據(jù)具體情況及時把控探究的廣度、深度與高度，以免把探究變成了低效(甚至無效)活動或極個別人的表演.

3.3 回歸數(shù)學(xué)理性,追求優(yōu)化創(chuàng)新

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》指出：“形式化是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項基本要求，但不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)本質(zhì)淹沒在形式化的海洋里.”因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要整合內(nèi)容，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)文化，弘揚理性精神，讓學(xué)生有充足的時間去思考、探究、感悟、評價、創(chuàng)造；數(shù)學(xué)教學(xué)要切實做到數(shù)學(xué)的形式化和數(shù)學(xué)本質(zhì)并重，形式化的表達(dá)要為揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)服務(wù)；數(shù)學(xué)教育要充滿數(shù)學(xué)的“味道”.

例3以向量為表象，解三角形為本真，少數(shù)學(xué)生感性有余，理性不足，無法從表象中揭示本真，多數(shù)學(xué)生很難通過消元化歸得到解法1，更沒有想到構(gòu)造性解法2；例4涉及3個三角形，元素眾多，雜而不亂，更需要我們冷靜地思考、理性地謀劃；又如等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d揭示了an的生成過程，凸顯了問題本質(zhì)，而an=pn+q(其中p,q為常數(shù))是問題的形式化、一般化、抽象化.北京師范大學(xué)劉紹學(xué)教授反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)是自然的、數(shù)學(xué)是清楚的.數(shù)學(xué)教與學(xué)要通過追問促使理解自然、清楚、優(yōu)美.”

[1] 鄭良.直覺和邏輯同行 形式和本質(zhì)并重——由一節(jié)公開課引發(fā)的思考[J].中國數(shù)學(xué)教育：高中版，2015(1/2)：26-30.

[2] 史寧中.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、評價與教學(xué)實施[J].中小學(xué)教材教學(xué)，2017(5)：4-9.

[3] 仲秀英.促進(jìn)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010(5)：36-39.

[4] 張奠宙，竺仕芬，林永偉.“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”的界定與分類[J].數(shù)學(xué)通報，2008(5)：4-7.

[5] 蒙臺梭利.蒙臺梭利幼兒教育科學(xué)方法[M].任代文,譯.北京：人民教育出版社,2001.

收文日期：2017-09-27；

2017-10-28

鄭 良(1980-)，男，安徽靈璧人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122

A

1003-6407(2018)03-0009-05