欲借圍棋之境 更現(xiàn)“指對(duì)”運(yùn)算力量
——從2017年北京市數(shù)學(xué)高考文理科第8題的答案之爭(zhēng)談起

●

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004)

●侯 偉

(河南師范大學(xué)附屬中學(xué)，河南 新鄉(xiāng) 453002)

欲借圍棋之境更現(xiàn)“指對(duì)”運(yùn)算力量
——從2017年北京市數(shù)學(xué)高考文理科第8題的答案之爭(zhēng)談起

●李懷軍

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004)

●侯偉

(河南師范大學(xué)附屬中學(xué)，河南 新鄉(xiāng) 453002)

試題研究有利于教師探明試題本質(zhì)、優(yōu)化試題與促進(jìn)教學(xué).文章對(duì)2017年一道有爭(zhēng)議的高考試題，從數(shù)學(xué)概念入手，通過(guò)解法、命題背景與意圖分析，提出優(yōu)化試題的方法，也從這道試題的爭(zhēng)鳴中提出此類試題命制需要關(guān)注的角度.

試題研究；指數(shù)函數(shù)；估算；命題意圖

教育部考試中心于2016年10月公布的《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》要求：“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用.”2017年北京市數(shù)學(xué)高考文理科試題第8題就體現(xiàn)了這一命題思想，以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中極具代表性的圍棋為背景.不過(guò)，該試題因其表述與參考答案引發(fā)了一些疑問(wèn)和爭(zhēng)議：有人認(rèn)為“正確答案”應(yīng)該是C；也有人認(rèn)為題中“接近”一詞需要嚴(yán)格界定；還有人提出比較尖銳的批評(píng)：要解決“最接近”的問(wèn)題，所給“參考數(shù)據(jù)：lg 3≈0.48”用不上且有誤導(dǎo)作用.這道高考試題為什么會(huì)引起諸多爭(zhēng)議？命題者的意圖是什么，以及在多大程度上能夠達(dá)到？這些爭(zhēng)議又會(huì)對(duì)以后的命題和教學(xué)有什么啟示？本文嘗試對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行初步探討.

1 原題再現(xiàn)

( )

A.1038B.1053C.1073D.1093

(2017年北京市數(shù)學(xué)高考文理科試題第8題)

2 試題研究

2.1 概念界定

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過(guò)：“對(duì)你所不理解的題目做出答復(fù)是愚蠢的.”這說(shuō)明注意題目中的語(yǔ)言表述、理解題意是求解的其中一步，因此對(duì)本題中“接近”這一術(shù)語(yǔ)的正確理解顯得尤為重要.“接近”為動(dòng)詞，有“靠近”與“相距不遠(yuǎn)”之意，也即是兩個(gè)事物或?qū)ο笾g的距離比較近[1].具體到兩個(gè)實(shí)數(shù)，其“接近”程度即指二者之間的距離小或近似程度高，因此對(duì)于兩個(gè)(或兩個(gè)以上)正實(shí)數(shù)的“接近”程度，可以用作差或作商的方式進(jìn)行表征和判斷.

2.2 解法之辯

“圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度”與“宇宙中的普通物質(zhì)”這兩個(gè)背景元素，在表述上看似與學(xué)生的知識(shí)背景存在一定距離，但并不影響學(xué)生的理解和求解.而且，該題信息量不大，主要有“接近”和“參考數(shù)據(jù)lg 3≈0.48”兩個(gè)關(guān)鍵信息，解題方向也比較明確.筆者對(duì)其所在學(xué)校的高中教師和部分高三學(xué)生進(jìn)行訪談獲知，被訪談?wù)咦畛Ｓ玫氖墙夥?.

故選D.

分析2解法2對(duì)“接近”這一術(shù)語(yǔ)的理解和表征是正確的，而且推理形式正確，但仍然得出存在爭(zhēng)議的答案D.分析上述的求解過(guò)程，發(fā)現(xiàn)解法2直接運(yùn)用參考數(shù)據(jù)“l(fā)g 3≈0.48”，而沒(méi)有推敲其嚴(yán)格性.

其實(shí)，lg 3更為精確的估計(jì)是0.477 121 25,按照這一估計(jì)，計(jì)算發(fā)現(xiàn)

|1092.240 771 2-1093|<|1092.240 771 2-1073|.

比如1<3<4，|3-4|<|3-1|，但是103更接近101而不是104，因?yàn)?/p>

|103-101|=990<9 000=|103-104|.

首先證明不等式

3361<5·10172.

(1)

由39=19 683,得

104<39<2·104,

(2)

從而 3360=(39)40<(2·104)40=240·10160,

所以不等式(1)可證.

3361>(39)40>(104)40>10153,

從而

由不等式(1)可知

3361<5·10172<10173，

從而

下面作差比較：由不等式(1)可知

2·3361<10173，

即

亦即

故選C.

分析3解法3沿用了解法2對(duì)“接近”術(shù)語(yǔ)的正確理解，推理過(guò)程嚴(yán)密，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，也沒(méi)有使用參考數(shù)據(jù)“l(fā)g 3≈0.48”，所推導(dǎo)出的選項(xiàng)C應(yīng)是正確答案.對(duì)比解法1和解法2推導(dǎo)出的選項(xiàng)D，究其原因是限制條件lg 3≈0.48的設(shè)置是否足夠精確.

2.3 命題分析

因?yàn)楸绢}是選擇題，并沒(méi)有呈現(xiàn)解答過(guò)程，所以只能根據(jù)參考答案以及上述主要的3種解法來(lái)揣測(cè)命題者的意圖及其達(dá)成程度，并簡(jiǎn)要分析試題存在爭(zhēng)議的原因.

本題命題意圖主要有兩個(gè)：1)以中華傳統(tǒng)文化中極具代表性的符號(hào)為背景，從數(shù)學(xué)的視角欣賞和理解優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深，強(qiáng)化愛(ài)國(guó)主義精神和民族自豪感.深入發(fā)掘中國(guó)文化內(nèi)涵，講好中國(guó)故事.2)考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力、關(guān)于對(duì)數(shù)與大數(shù)的運(yùn)算能力以及估算能力.

不過(guò)，本道題中的“圍棋”和“宇宙中普通物質(zhì)”這兩個(gè)背景元素與已知數(shù)據(jù)及求解過(guò)程沒(méi)有必然聯(lián)系，因此很難說(shuō)第一個(gè)命題意圖達(dá)成.另外，由于高考為限時(shí)考試，時(shí)間比較緊張，對(duì)于這道選擇題，絕大多數(shù)考生會(huì)循著試題導(dǎo)向，直接使用條件lg 3≈0.48(或93.28≈93)，運(yùn)用解法1(或解法2)來(lái)完成.因此，從廣大考生所處的高考真實(shí)場(chǎng)景這一角度看，第二個(gè)命題意圖在一定程度上達(dá)成.

另外，針對(duì)本題的上述爭(zhēng)議，筆者認(rèn)為：由于該題給出了確定的參考數(shù)據(jù)，因而其答案是無(wú)須爭(zhēng)議的.但對(duì)比3種解法的求解過(guò)程可知：試題的表述與限制條件的精確性是有爭(zhēng)議的.首先，“接近”一詞是關(guān)鍵信息，但本題題目并沒(méi)有對(duì)此作出清晰和明確的界定；其次，無(wú)論是以0.48,0.477 121 25，或其他數(shù)作為lg 3的近似值，都不應(yīng)該影響試題的答案.再次，解法1先后進(jìn)行了兩次估算lg 3≈0.48，93.28≈93，估算前后的數(shù)值雖然相差都不大，但還原成指數(shù)冪之后，卻發(fā)生了驚人的質(zhì)的變化.正如解法2所呈現(xiàn)的：92.240 771 2僅比93小0.759 228 8，但比73大19.240 771 2，而1092.240 771 2卻更接近1073.引發(fā)以上質(zhì)變的根本原因是“指數(shù)”運(yùn)算具有爆炸性的“放大”作用，能將細(xì)微的差別放大成顯著的差異；而與此相對(duì)應(yīng)的“對(duì)數(shù)”運(yùn)算，卻具有截然相反的緩慢性的“縮小”作用，可將上述顯著的差異縮小到細(xì)微的、甚至是難以察覺(jué)的程度.

2.4 試題優(yōu)化

由以上分析可知，完善本道試題可以從以下兩個(gè)方面著手：1)概念的明確化與清晰化,比如借鑒2010年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題第22題關(guān)于“遠(yuǎn)離”一詞的定義，來(lái)界定本題中“接近”一詞的內(nèi)涵；2)進(jìn)一步精確限制條件，比如給出lg 3≈0.477，或者將4個(gè)選項(xiàng)設(shè)置成區(qū)間的形式.

3 總結(jié)與啟示

2017年北京市數(shù)學(xué)高考文理科試題第8題欲借“圍棋”之境，傳揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.不過(guò)，深入探究此題，感受更多的是“指對(duì)”運(yùn)算的力量.因此，對(duì)此題的相關(guān)概念進(jìn)行澄清與界定，對(duì)試題進(jìn)行分析和優(yōu)化，有助于爭(zhēng)論者在一定程度上消解對(duì)本道試題的疑惑與爭(zhēng)議，也希望對(duì)數(shù)學(xué)試題命制、數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的啟發(fā)作用.

3.1 從命題者的角度看

試題表述和概念界定明確、準(zhǔn)確、嚴(yán)密、不存在爭(zhēng)議是命題之重.要想做到這一點(diǎn)，既要考慮日常用語(yǔ)通俗易懂的優(yōu)點(diǎn)，又要發(fā)揮數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔抽象的長(zhǎng)處，更需要注重語(yǔ)言表述的內(nèi)在邏輯.為了簡(jiǎn)便運(yùn)算，常有規(guī)定性或限制性條件的設(shè)置，但要合情合理，不能出現(xiàn)前后表述、題目的表層與內(nèi)含信息互相“打架”的現(xiàn)象.另外，對(duì)“估算”的考查，最好出現(xiàn)在解題的最后一步或幾步，即使是出現(xiàn)在解題過(guò)程中，也要謹(jǐn)慎考慮各種近似對(duì)后續(xù)運(yùn)算以及解題結(jié)果的影響.

3.2 從高中數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看

首先，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的能力.數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言，“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)”[3].而語(yǔ)言的學(xué)習(xí)離不開(kāi)閱讀.實(shí)施數(shù)學(xué)閱讀的教學(xué)，既要示范和引導(dǎo)學(xué)生正確感知和認(rèn)讀文字、數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)、公式、圖表等語(yǔ)言符號(hào)，也要通過(guò)同化或順應(yīng)教學(xué)，將新概念納入或重構(gòu)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).當(dāng)然，更需要與不斷假設(shè)、證明、想象、推理等系列積極能動(dòng)的認(rèn)知過(guò)程相連貫,從而在上述閱讀過(guò)程、記憶、思考等細(xì)節(jié)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力.

其次，樹(shù)立對(duì)估算的正確認(rèn)識(shí).在教學(xué)中適時(shí)、適量滲透估算.傳統(tǒng)對(duì)估算持有一種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，“人們?cè)诠浪隳芰Φ墨@得上有最后時(shí)期和個(gè)體有相似的估算能力”[3].一部分中學(xué)數(shù)學(xué)教師也持有類似觀點(diǎn)：估算能力的獲得應(yīng)在小學(xué)階段完成.其實(shí)，中學(xué)階段也需要估算，只不過(guò)這種估算是高階的、更為復(fù)雜和抽象的，正如本道題中所體現(xiàn)的.估算教學(xué)應(yīng)充分利用估算能力在高中時(shí)期的自然發(fā)展，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生在實(shí)際的數(shù)學(xué)情景中多運(yùn)用估算，以盡量消除簡(jiǎn)單化和“死記硬背”的傾向.

最后，借助數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，促進(jìn)概念教學(xué)走向知識(shí)本質(zhì).數(shù)學(xué)概念反映出數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，不過(guò)是被舍去具體的物質(zhì)屬性和關(guān)系而抽取出來(lái)的量的關(guān)系和形式構(gòu)造.因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就要指向這種量的關(guān)系或形式構(gòu)造的本質(zhì)，借助數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)就是兩條有效的實(shí)施途徑.比如，上述試題中所體現(xiàn)的指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的“力量”，可以從“對(duì)數(shù)”史和“指數(shù)”的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中強(qiáng)烈地感受到：對(duì)數(shù)運(yùn)算是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中對(duì)大數(shù)的計(jì)算而“發(fā)明”的.對(duì)數(shù)的“發(fā)明”可以將冪運(yùn)算在內(nèi)的乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算，大大減小了運(yùn)算量，從而縮短運(yùn)算時(shí)間，使得“天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了一倍”.又可以從細(xì)胞分裂、人口增長(zhǎng)等問(wèn)題中強(qiáng)烈體會(huì)到，“指數(shù)爆炸”是對(duì)指數(shù)運(yùn)算這一特性的形象刻畫(huà).

[1] 中國(guó)社會(huì)科學(xué)院語(yǔ)言研究所詞典編輯室.現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典[Z].6版.北京:商務(wù)印書(shū)館,2012.

[2] 斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].丁爾陞,譯.北京:人民教育出版社,1984.

[3] 司繼偉,張慶林.估算:來(lái)自心理學(xué)的聲音[J].心理科學(xué),2002(2):240-241.

收文日期：2017-11-22；

2017-12-24

河南省中小學(xué)學(xué)科數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地資助項(xiàng)目

李懷軍(1981-)，男，河南新鄉(xiāng)人，博士研究生.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.6

A

1003-6407(2018)03-0024-03