“圓”來很完美
——“圓”復習課教學設計及思考

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(金牛學校,安徽 合肥 231253)

“圓”來很完美
——“圓”復習課教學設計及思考

●陶訓生劉鈺

(金牛學校,安徽 合肥 231253)

“圓”的復習課，一方面是對“圓”這一部分知識進行復習，對相關知識點進行串講；另一方面通過復習，對知識進行整合、再思考，通過創設問題情境，選取典型例題，達到訓練學生數學思維能力的教學目標.

整合；數學素養；完美；提煉方法

近期，筆者應邀參加了由安徽省合肥市初中數學培訓基地組織的送培送教活動，筆者和數學教研組長及培訓基地教師培訓團隊專家組成員劉鈺老師共同設計、打磨了一節“‘圓’來很完美”的課.一方面是對“圓”這一部分知識進行復習，對相關知識點進行串講，另一方面通過復習，對知識進行整合、再思考，通過創設問題情境，選取典型例題，達到訓練學生數學思維能力的教學目標，同時也期望對受訓青年教師的復習課教學有所啟迪.

1 教學內容的確定及前期思考

基于本次活動的背景：1)中考第一輪復習已近尾聲，“圓”這一章復習課是幾何部分復習的最后一節課.我們知道，圓可以說是3個學段中幾何知識的一個總結，本章中出現的定義、定理等較多，同時在解決問題時涉及的定理也多.2)初中階段的數學教學，應注重培養學生的思維能力，努力提高學生的數學素養.一方面我們要以教材為本，多用教材、用好教材、深究教材，為學生提供學習主題、基本線索和知識結構，實現課程目標;另一方面教師要時刻站在教材中知識的制高點,引領學生學會思考，用最簡單的知識和方法，解決較復雜的問題.3)針對目前農村的教學環境：受城市化運動的影響，學校的生源銳減，生源質量參差不齊，從而造成教師職業倦怠，不善于思考、總結，更談不上教學研究，上復習課更是流于形式：教師與學生復述定理，最后是課本復習題講解.

2 教學過程及分析

2.1 新課導入，引出課題

以下是教師的課堂教學片斷：

同學們，圓是我們初中階段唯一學習過的曲線圖形，它和之前所學的直線圖形是不相同的，今天我們將再次走進圓的世界，欣賞圓的美.

大家都知道圓指的是圓周而并不是整個圓面，圓周上有無數個點，可以把圓看作是這無數個點所組成的集合.圓周上的每一個點到圓心的距離都相等.因此，我們得到圓的定義：圓是所有到定點的距離等于定長的點的集合，定點是圓心，定長是半徑.這是圓的第一種定義，圓還有第二種定義：圓可以看作是線段繞著它的一個端點旋轉一周所形成的封閉圖形.

介紹完圓的定義以后，下面來研究圓的性質.同學們看老師手中的圓(出示教具)，圓是不是很美觀，同學們知不知道它為什么這么美觀嗎？因為大家都知道，我們中國人講究對稱美，而圓就集所有的對稱于一身.我們將這個圓沿著中間的這條線對折，會發現圓具有軸對稱性，它的對稱軸是經過圓心的每一條直線(注意是直線).如果我們將圓繞著它的圓心旋轉任意角度，它都能和原來的圖形重合，那么圓還是旋轉對稱圖形.有的同學說是中心對稱圖形也可以，中心對稱圖形是旋轉對稱圖形的一種特例，它集所有的對稱美于一身，這是圓的對稱性，那么圓還有哪些性質呢？圓的性質特別的多，下面我們一個一個來回顧.

說明由于是借班上課，學生和教師之間彼此都比較陌生，主要表現在：學生的知識掌握程度、每個學生上課時的表現(盡管在上課之前筆者利用課間和班級的部分學生進行了互動以及與原授課教師進行了溝通，但筆者心中沒有底)；學生對新授課教師的上課方式、方法不了解，學生是否能接受、是否能配合更是無從知曉，因此新課的導入就顯得非常重要了.筆者通過不到兩分鐘的激情講解，力求達到兩個目標：1)拉近和學生之間的距離，從一個“走進圓的世界，欣賞圓的美”這個全新的角度引出本節課的內容；2)讓學生在筆者的講解中獲得數學教育.從實際教學效果來看，收效不錯.

2.2 師生互動，復習回顧

師：首先大家都知道，圓是一個點的集合，圓周上有無數個點，不妨在圓周上取一點P(如圖1)，根據圓周上的這一點P，你能想到圓的哪些知識.

圖1 圖2

生1:聯結圓心O與點P可以得到半徑.

生2:知道了半徑可以計算圓的周長和面積.

師：如果在圓周上任意取兩個點A,P(如圖2)，那么現在你又可以聯想到圓的哪些知識呢？

生3：把這兩個點聯結起來我們可以聯想到圓的弦.

生4:可以聯想到弧，圓上兩個點之間的線段叫做弦，圓上兩個點之間的曲線叫做弧.

生5:當弦經過圓心時就是直徑，直徑是弦，但弦不一定是直徑.

生6:弧可以分成優弧和劣弧.

生7:過圓心作弦的垂線段,可以得到弦心距，弦心距的平方加上弦的一半的平方等于半徑的平方.

生8:把這兩個點分別與圓心O聯結起來可以得到圓心角，圓心角的大小即所對弧的度數.

生9:由圓心角我又想到了圓周角，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，90°的圓周角所對的弦是直徑.

師：同學們，如圖3，根據圓上任意3個點你可以聯想到圓的哪些性質呢？

生10:聯結這3個點我想到了圓的內接三角形，這個圓是三角形的外接圓，圓心是外心.

師(追問)：外心是什么的交點？

生11:外心是三角形3條邊垂直平分線的交點，外心到三角形3個頂點的距離相等，都等于半徑的長.

師：除了外心，我們還學習過哪些“心”？

生12：內心：圓的內切圓的圓心是三角形3個內角平分線的交點，內心到三角形3條邊的距離相等.重心：3條中線的交點.垂心：3條高線的交點.

師：由內切圓你還能想到哪些知識?

生13：任意一個三角形的內切圓半徑都等于這個三角形面積的2倍除以周長，如果這個三角形是直角三角形，它還有一種特殊的求法即內切圓半徑等于兩直角邊的和減去斜邊再除以2.

圖3 圖4

師：同學們，如圖4，如果在圓上任意取4個點，你又能想到圓的哪些知識呢？

生14：可以聯想到圓的內接四邊形，對角互補，每一個外角都等于它的內對角.

生15：如果把這4個點兩兩交叉相連，可以聯想到相交弦定理.

師:很好，我們剛才復習回顧了圓上1～4個點的情形，那么有的點它可能在圓外，如果老師在圓外取一點，你又能聯想到圓的哪些知識呢？

生16：可以想到過這個點與圓有兩條切線，可以知切線，連半徑，得垂直.

師:如何證明一條線是切線呢？

圖5 圖6

生17：分兩種情況：1)給了與圓的交點可以連半徑，證垂直(如圖5);2)沒有給交點可以作垂直證半徑(如圖6).

圖7

生18：還有切割線定理PT2=PA·PB(如圖7).

師：掌握了這些知識，對我們解題有非常重要的幫助.到這里我們系統地復習了一遍圓的知識，有些同學可能還有一些遺忘，希望同學們回去之后再抓緊復習一遍，搞清楚知識的脈絡框架.

說明這個部分是對整章知識的一個全面回顧，力求改變那種流水賬式的復習樣式，即逐個回顧相關知識點，而是采用了以圓為載體、以幾何構圖的原始要素——點的個數變化為抓手，啟發學生去聯想：一個點→半徑→可以計算圓的周長及面積；兩個點→直徑、弦、優弧、劣弧等；3個點→圓的內接三角形、三角形的外接圓、內心及外心等；4個點→圓的內接四邊形、相交弦定理等；當在圓外取一點時→切線、切割線定理.值得一提的是，學生能聯想到“相交弦定理”“切割線定理”，這說明授課教師在平時教學時把《課程標準》中不作要求的內容也告訴了學生，特別是“切割線定理”，這可是刪除的內容.如果以《課程標準(2011年版)》的剛性標準來衡量，的確有“超標”之嫌，筆者認為在平時上課時還是應該以課本為本，如果學生基礎比較好的話，在復習時可以適當補充.

2.3 探索發現，深化提高

例1如圖8所示，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,∠BAC=20°，∠CAD=80°，則∠BDC=______°，∠DBE=______°.

分析看到這道題目，可能有學生會感到疑惑：今天不是復習圓的知識嗎？而這題卻好像是關于三角形和四邊形的，那么這道題目里面到底有沒有隱藏著圓呢？

圖8 圖9

本題表面上與圓無關，但由條件AB=AC=AD知，可以以點A為圓心、AB為半徑構造輔助圓(如圖9)，這樣用圓心角和圓周角的知識來解決本題就很簡單了.

小結當遇到同一個端點出發的等長線段時，通常可以以這個端點為圓心、等線段的長為半徑構造輔助圓.

例2如圖10，矩形ABCG與矩形CDEF全等，并且AB=1,BC=3,點B,C,D在同一直線上，∠APE的頂點P在線段BD上移動，使∠APE為直角的點P的個數是

( )

A.0 B.1 C.2 D.3

圖10 圖11

分析∠APE為直角,我們可以把∠APE想象成直徑所對的圓周角，以AE為直徑構造輔助圓(如圖11)，很明顯⊙O與BD有兩個交點，即滿足條件的點P有2個.

小結當遇到有直角時，通常以斜邊為直徑構造輔助圓.

說明這兩道例題的共同特點就是從題目的表面上看不出圓的身影，因此如何引出用圓的知識來解決問題是完成這兩道題教學的關鍵.對于例1，入手點是題中的條件“AB=AC=AD”，依據是圓的定義；例2則是從“∠APE為直角”出發，聯想到“直徑所對的圓周角”進而得出以AE為直徑作圓.例1和例2為學生提供了兩類能利用輔助圓方法來解答的題目特征.

2.4 鞏固方法，拓展提高

例3如圖12，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB的中點，F是線段BC上的動點，將△EBF沿EF所在的直線折疊得到△EB′F，聯結B′D，則B′D的最小值是______.

圖12 圖13

例4如圖13，在△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為______.

說明學以致用，本環節選編的兩道求線段長度最小值的習題，探究性強，思維要求較高，題目的表征看似更復雜.對于例3：因為EB與EB′是對稱的，所以EB=EB′，可以以點E為圓心、EB為半徑作圓(如圖14)，F是主動點，B′是從動點，B′的軌跡就是我們所畫的圓，聯結B′D，當點E,B′,D共線時，B′D最短.例4是2016年安徽省數學中考選擇題的壓軸題，思考路徑是：第一步證明∠P=90°，第二步以AB為直徑構造圓(如圖15)，聯結CO，點P的運動軌跡是圓，當點O,P,C共線時，線段CP的長取得最小值[1].例3和例4練習構造輔助圓的方法和前面的兩道例題剛好配套：1)利用等長線段構造圓;2)利用直角構造圓.其目的是讓學生更好地掌握本節課的核心：解題通法.

圖14 圖15

2.5 反思總結，提煉收獲

構造圓的條件：1)從一個端點出發引幾條等長的線段；2)出現了90°的角.本節課研究的這兩類問題表面上似乎與圓無關，但如果我們能深入挖掘題目中的隱含條件，善于聯想所學定理，巧妙地構造符合題意特征的輔助圓，再利用圓心的有關性質來解決問題，往往能起到“化隱為顯，化難為易”的解題效果.

本節課也是我們復習課的最后一節課，希望同學們在中考的時候能夠做到“圖中無圓，心中有圓”，今天的課就上到這里，希望同學們像圓一樣給自己初中三年的學習生活畫上一個圓滿的句號，謝謝大家.

說明課堂小結是一節課學習的升華和深化，是非常重要的一個環節.課堂小結，并不是單一知識點的羅列，而是應從數學思想方法獲取、技能提升、能力發展、學習習慣培養、學習方法的改進等方面進行梳理.教學生學習數學，感悟數學的真諦，更要尋機對學生進行思想教育.寥寥數語，不但感染了聽課的全體學生，也使聽課教師受到極大震動.

2.6 練習鞏固，強化理解完美收官(略)

3 教后反思

《課程標準(2011年版)》明確指出：通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必須的數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能[2].數學思想方法是數學學科的精髓，是數學素養的重要內容之一，學生只有領會了數學思想方法，才能有效地應用知識，形成能力.本節復習課除了要把和圓相關的知識點串聯起來，并使之系統化、條理化、網絡化，便于儲存、提取和應用，還有對那些表面上看似與圓無關卻可以用圓的知識來解決的問題進行了總結、提煉、歸類[3].

[1] 疏忠良.圖中無圓，心中有圓[J].中小學數學,2017(3)：26-28.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社,2012.

[3] 韓磊.“正弦定理”的教學設計、實踐及反思[J].中學教研(數學),2017(7):27-29.

收文日期：2017-11-16；

2017-12-17

陶訓生(1982-)，男，安徽合肥人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2018)03-0020-04