重基礎 重本質 重聯系
——高三復習課“當函數遇上絕對值”課堂實錄與感悟

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(湖州市教育科學研究中心,浙江 湖州 313000)

●凌 紅

(湖州中學,浙江 湖州 313000)

重基礎重本質重聯系
——高三復習課“當函數遇上絕對值”課堂實錄與感悟

●王勇強

(湖州市教育科學研究中心,浙江 湖州 313000)

●凌紅

(湖州中學,浙江 湖州 313000)

文章通過對2017年浙江省高中數學課堂教學評比活動中的一節評比課，給出課堂簡要實錄和一些觀課感悟．在觀課過程中感受到整堂課教學目標精要、教學設計精美、教學語言精練，并通過反思感悟到高三復習教學課堂中要重基礎、重本質、重聯系，以期對高三數學復習教學有所幫助．

課堂教學評比；課堂實錄；重基礎；重本質；重聯系

歷時3天的2017年浙江省高中數學課堂教學評比活動在浙江省諸暨市落下帷幕，此次評比活動主題新、內容新、形式新.本次評比的主題為“基于數學問題本質的揭示與數學思想方法理解及應用的復習教學設計和實踐”，前所未有.賽課內容改變了傳統開設概念課、章節起始課等的做法，首次選擇開設復習課，是以2014—2017年學考、高考中的典型題目為例開設一節高二或高三的復習課.賽課課題提前兩天公布，對各地市選送的參賽選手的備課及教學展示提出了非常高的要求，更真實地體現了選手的數學功底和教學水平.

本次評比活動立意新，反響強烈，吸引了500多位數學教師的積極參與，讓每位參與者都感到受益匪淺.在這次評比活動中，來自湖州中學的凌紅老師開設的“函數復習課”得到了專家評委和觀課教師的一致好評，被評為一等獎第一名.下面給出這節評比課的課堂教學簡錄和觀課后的感悟.

1 課堂教學過程簡單實錄

師：函數是高中數學的重要內容之一，在近幾年的學考和高考中，含絕對值的問題是熱點.那么當函數遇上絕對值時，會演繹出怎樣精彩的故事呢？

1.1 復習舊知，強化概念

師：絕對值是什么？

生(眾)：一個數的絕對值必大于等于0.

師：絕對值有什么幾何意義？

生(眾)：數軸上的距離.

師：今天，我們以距離為視角，來研究形如f(x)=|[ ]-( )|的函數的最值問題.

評注通過“絕對值是什么”“絕對值有什么幾何意義”這兩個簡單的問題，讓學生回憶起“絕對值”這個概念的基本內涵，從而確立本節課的復習主題.

1.2 自主探究，把握本質

例1函數f(x)=|x-1|,其中x∈[-1,1]的最大值為______.

評注通過最簡單的問題，喚醒學生對于絕對值幾何意義的認識，為變形做好鋪墊.

變形1設函數f(x)=|x-b|,其中x∈[-1,1]，b∈R.記f(x)的最大值為g(b)，則當b變化時，g(b)的最小值為______.

師：|x-b|的幾何意義是什么？

圖1

生(眾)：數軸上表示

x

,

b

的兩點間的距離(如圖1).

師：當b變化時，f(x)的最大值隨之變化，則f(x)為b的函數，即為g(b).那么，請同學們觀察，當b為多少時，g(b)可以達到最小，此時g(b)的最小值是多少？

生(眾)：當b=0時，g(b)的最小值為1.

師：如果在平面直角坐標系中畫出函數y=x,其中x∈[-1,1]和y=b的圖像，怎樣體現出距離？

生1：在函數y=x,其中x∈[-1,1]的圖像上任取一點，作x軸的垂線，與y=b的交點與該點之間的豎直距離.

圖2

師：這位同學回答得非常準確.也就是說可以將一條豎直直線水平移動，看它與兩個函數交點之間的距離即可.如果y=b的圖像如圖2所示，f(x)的最大值在哪里取到？

生(眾)：在x=-1處.

師：當b變化時，函數y=b的圖像上下移動，當b為何值時，最大值g(b)可以達到最??？

生(眾)：b=0.

師：如果直線y=b上移，那么在x=-1處，g(b)>1；當y=b下移時，在x=1處，g(b)>1，故g(b)的最小值為1.

師：對于變形1，用絕對值的本質——距離，解決了含參函數最大值的最小值問題.我們并沒有求出函數最大值的具體表達式，而是直接得到了它的最小值，兩步并做一步走，真可謂事半功倍！

評注從常數到參數的變化，從數軸上的距離引向兩個函數之間每一個x處的豎直距離，體現了數形結合的思想.

變形2設函數f(x)=|x2-2x-b|，其中x∈[-1,1],b∈R.記f(x)的最大值為g(b)，則當b變化時，g(b)的最小值為______.

師：請同學們思考一下，同桌之間可以交流，從距離的角度來看該怎么求解？

生2：先畫出y=x2-2x的圖像，可知該函數在[-1,1]上單調遞減，且值域為[-1,3]，因此當b=1時，g(b)的最小值為2.

師：這位同學在平面直角坐標系中，研究了兩個函數y=x2-2x,其中x∈[-1,1]和y=b在每一個x處的豎直距離，直接得到答案.有沒有同學在數軸上解決這個問題？

生3：令t=x2-2x∈[-1,3]，就是變形1了.

師：這位同學利用換元法，將x2-2x看成整體，就化歸為變形1了.至此，我們已經解決了任意一個函數與水平直線的“距離”問題了.

評注從一個自變量到一個代數式，體現了整體思想和轉化化歸的思想.

例2設函數f(x)=|x2-ax-b|，其中x∈[-1,1],a,b∈R.記f(x)的最大值為M(a,b)，則M(a,b)的最小值為______.

師：這個函數研究的是什么之間的距離？

生(眾)：y=x2與y=ax+b之間的距離.

圖3

師：在圖3中如何看距離呢？

生(眾)：平移豎直直線，考慮與兩個函數圖像交點之間的距離.

師：距離的最大值與什么參數有關？

生(眾)：與a,b都有關系.

師：我們把函數的最大值記為M(a,b)，接下來是不是找一條直線，使得最大值M(a,b)達到最小就行了？請同學們找找看，到底哪條直線符合要求.

教師請兩位學生到黑板上畫出自己認為符合要求的直線.

圖4 圖5

師：我們來分析一下，最大值的最小值分別為多少？

學生們紛紛表示沒有找到.但是發現反例總是出現在f(-1)，f(0)，f(1)處.

圖6

評注從水平移動直線到任意轉動直線的變化，揭示問題的本質不變.

變形3設函數f(x)=|x2-ax-b|，其中x∈[0,1],a,b∈R.記f(x)的最大值為M(a,b)，則M(a,b)的最小值為________.

師：如果定義域為[0,1]，那么答案又是多少呢？

師：有沒有不同意見？

生5要求上黑板畫線，如圖7所示.

圖7 圖8

師：這條直線是如何確定的？比如說斜率是多少？

生6：把它平移使得直線與拋物線相切.

師：這條切線是如何確定的？是隨便找一個點作為切點畫出的？

生7：與直線OB平行.

師：這時，我們就知道所畫直線的斜率為1了.

評注從兩端點連線呈水平狀態到傾斜狀態的變化，隱含了一般具有凹凸性函數與任意動直線縱向距離最大值何時最小的作法.

1.3 學以致用，感悟思想

1)當a=0，b=1時，寫出函數f(x)的單調區間；

3)若對任意實數a,b，總存在實數x0∈[0,4]，使得不等式f(x0)≥m成立，求實數m的取值范圍.

(2015年1月浙江省數學學考試題第34題)

師：請同學們運用今天學習的“以距離為視角”的方法來解決這個含絕對值的函數學考題.

1.4 課堂小結，提煉本質

這節復習課我們初識“當函數遇上絕對值”，學習了用“絕對值的本質——距離”來分析問題和解決問題.

數學問題的形式是千變萬化的，但是數學概念的本質是不變的.教師在復習教學時，應該回歸概念的本質，做到以不變應萬變，揭示數學問題的本質，從而形成前后邏輯連貫的數學思想方法，為解決千變萬化的數學問題提供幫助.

評注教師在每個環節結束時都及時地與學生一起進行小結反思，在整堂復習課的最后再次小結，對整節課的核心——絕對值的距離本質作出梳理和提煉.

2 觀課感悟

2.1 觀課感受，三“精”高效

1)教學目標精要.

這堂課中像例2、例3的解決方法有許多，包括利用絕對值的定義、采用分類討論的思想方法、利用絕對值的幾何意義采用數形結合的思想方法(即絕對值的距離本質來破題)、采用絕對值三角不等式和最值的定義來解答等.但筆者認為數學教學是“慢”藝術，一節課只有40分鐘，如果把所有好的數學方法、好的數學思想都打包發給學生，往往會出現因空間不足而無法解壓的現象.因此，教學目標的設計要符合學生的實際，并提前預測其達成度；課堂容量是教學目標的抓手，教學容量是為目標服務的，必須緊密地貼合.

整堂課凌老師的教學目標就是構建一個模型——縱向距離，來解決一個問題——絕對值函數問題.教學目標看似簡單，但對學生而言卻是一個全新的視角，如果40分鐘能夠掌握，那么將是體現“學為中心”的成功的教學實踐.這堂課實踐下來，凌老師做到了教學目標精要.

2)教學設計精美.

整堂課的教學設計精美，思路清晰,環節自然,過程流暢,層次分明，體現了凌老師深厚的教學功底.在教學情景創建上，從絕對值的定義出發，看似簡單，卻妙不可言，一則拉近了與學生的距離，降低復習課起始的入門門檻；二則揭示了“形如f(x)=|[ ]-( )|的函數的最值問題”的數學本質，為后續由淺到深、邏輯連貫、層次分明的階梯型教學的順利進行奠定了基礎.在教學素材的選擇上，從最簡單的f(x)=|x-1|,其中x∈[-1,1]入手，圍繞絕對值的幾何意義，從一維到二維，引導學生從“水平距離”到自然構建“縱向距離”，再通過變式層層推進，強化對模型的理解與應用，凸顯了數學問題的本質，非常切合本次評比活動的主題.

美中不足的是課堂上沒有明確說出“縱向距離”，沒有給出類似“縱向距離”這種說法，學生的體會和感悟相對會淺一些.正所謂：名不正則言不順.

在教學策略上，并沒有刻意去追求課堂氛圍的熱鬧，而是更多的關注對學生思維的啟迪，對數學思想方法的滲透.在教師的引導下，學生的思維始終處在活躍狀態，少的是表面的喧鬧，多的是思維的發散，所有探究出的結論都來自學生，但教師對每一個問題解決后的點評卻又能再次提升學生的數學思維，整節課40分鐘都讓學生在綠色、生態的環境中自然地學習數學、享受數學，進而提高學生的數學核心素養.

3)教學語言精練.

整堂課凌老師教學語言精練，娓娓道來，教態優雅大方，極具親和力，很容易起到“親其師，信其道”的效果.板書規范科學，精煉準確；教學語言嚴謹，絲絲入扣；所畫圖形清晰工整，激發思維；課件大方清爽，突出重點.眾所周知，教學語言的規范科學是對教師的最基本要求，精煉準確和生動形象是提高課堂效率的有力保障，而激發思維可以充分體現數學教學的主要目的.凌老師的教學語言雖然激情不足，但也獨具特色，在40分鐘的課堂教學中對教學信息的傳遞、對課堂紀律的管理、對學習動機的激發、對學生數學思維的促進都起著“潤物細無聲”的作用，使得整堂課的教學目標在不知不覺中就已經達成了.

2.2 觀課感悟，復習課要三“重”同行

高三復習課要重基礎.特別是第一輪復習，復習教學的重心要放低一些.俗話說：基礎不牢，地動山搖.因此，在高三復習時，不能想當然地認為所講知識是以前學過的教學內容，就對基礎知識的復習走馬觀花，強調死記硬背或匆忙地一筆帶過，急于去解題甚至是去分析難度較大的高考題，以為這樣才能吸引學生、才能培養學生的思維能力.可貴的是，在本次評比活動中出現了不少重基礎的課例，起到了很好的觀摩示范的效果.

像前面的課例中，凌老師上課初始通過“什么是絕對值”“絕對值有什么幾何意義”這兩個基礎的問題來復習絕對值概念，以學生為本，幫助學生打好基礎，另外在后面發展思維能力的教學過程中，也是從難度較低的數學問題出發，由淺到深逐步變式，從一維到二維，從橫向距離類比到縱向距離，根據學生的最近發展區，始終強調對絕對值、距離等基本概念和轉化化歸、數形結合等數學基本思想的理解和掌握.

高三復習課要重本質.這里的本質指的是概念的本質和思想方法的本質.高三教師要在凸顯概念本質和提煉思想方法本質的教學上狠下功夫，精選例習題，向經典致敬，在解題的過程中不斷回歸數學概念和定義.《普通高中數學課程標準(實驗)》中指出：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態.”以上課例中引導學生通過典型問題及3個變式的分析和自主探索，使學生理解絕對值概念的本質和內涵，逐步體會蘊涵在其中的“以距離為視角”的數學思想方法，契合了《普通高中數學課程標準(實驗)》中闡述的重本質的課程性質.

高三復習課要重聯系.復習教學中通過主線分明的問題串將數學概念和數學思想方法聯系起來，從而提高學生對數學問題整體的認識.教學過程中應該注重溝通課堂前后各部分內容(包括課后作業)之間的聯系，通過對經典數學問題進行多個維度的變式探究等方式，使學生體會數學問題之間的有機聯系，感受數學的整體性，進一步理解數學問題的本質，提高學生分析問題、解決問題的能力.

若教師能在高三復習教學中引導學生重基礎、重本質、重聯系，使學生養成良好的思考問題的習慣，以“不變”作為思考問題的出發點，凸顯數學問題本質的通性通法來應對“萬變”的數學題目，才能擺脫題海，事半功倍，使復習課真正能夠做到輕負高效.

收文日期：2017-11-03；

2017-12-04

王勇強(1974-)，男，浙江金華人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

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1003-6407(2018)03-0016-04