展現規律的生成 抓住問題的本質
——2017年高中數學課堂教學評比活動課例及反思

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(安吉縣高級中學,浙江 安吉 313300)

展現規律的生成抓住問題的本質
——2017年高中數學課堂教學評比活動課例及反思

●魏侹路

(安吉縣高級中學,浙江 安吉 313300)

“如何在復習教學中揭示數學問題的本質，使學生理解及應用數學思想方法”是值得每位數學教師思考的問題．文章以一道浙江省數學學考試題為素材，設計了一節以揭示內在規律為目標、以學生主體探究為過程的課例．

規律生成;問題本質;變化;不變量

1 課例設計準備

1.1 課例背景

2017年高中數學課堂教學評比活動的課題為“基于數學問題本質的揭示與數學思想方法理解及應用的復習教學設計”，并且規定以浙江省2014—2017年學考中的解析幾何題為例．

根據課題，本次教學設計應當關注兩個方面：1)如何揭示數學問題的本質．解析幾何題在學考中處于倒數第二題的位置，對于學生來說難度不低．筆者所參賽的B組所面對的學生水平并不是太高．在這樣的背景下，起點設置應該低一些，最終結論不應難度過高，更重要的是一定要注意問題生成、揭示的過程，注重邏輯思維過程的逐步深入，不可一蹴而就．2)注意基本思想方法的理解應用．解析幾何中的基本思想就是數形結合，基本方法就是坐標法，以及具體計算過程中的設而不求．這些都應該在具體題目的解決過程中讓學生反復體會并運用．

圖1

例1已知拋物線C:y2=2px過點A(1,1)．

1)求拋物線C的方程；

2)過點P(3,-1)的直線與拋物線C交于兩個不同的點M，N(點M，N與點A不重合)，設直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．

(2017年4月浙江省數學學考試題第24題)

1.2 問題預設

如果深入思考：k1k2這個定值與什么有關，改變相關條件還能得出定值的結論嗎？其實不難猜想可能與點A，P的坐標有關，“如何通過問題的設置，引導學生發現它們之間的內在聯系，抓住變化問題中的不變關系”應當是本堂課設計的核心．

1.3 目標定位

本節課的教學，根據“問題引導，任務驅動”的設計思路，遵循自然生成的規律，使學生在教學過程中感受數形結合的數學思想，進一步理解并運用坐標法解決解析幾何問題．同時，體會從特殊到一般、先猜后證、類比推理等邏輯思考方法．具體表現在：

1)教學過程中堅持學生為主體，包括計算方法的選取與比較、計算過程的具體展示均盡量由學生完成，教師適當點評，杜絕教師一手包辦；

2)借助幾何畫板這一軟件，讓學生從簡單圖形入手，通過不斷觀察圖形的細微變化、條件和結論的變化，經歷從簡單到復雜、從特殊到一般、從具體到抽象、從猜想到論證的過程，使學生逐步深入問題的核心.

2 課例展示過程

2.1 創設情景，引出課題

(課前播放一段浙江省安吉縣的宣傳片，引出本節課的主題.)

師：同學們好，本人來自美麗的竹鄉安吉.剛才大家看到的是安吉縣的宣傳片.不知道有沒有去過的同學？在安吉，不論你身處何處，都可以看到美麗的自然風景和鄉村風貌.而且，無論今后安吉的城市發展如何變化，我們始終堅持生態立縣的發展戰略.如果大家細心觀察，我們的生活中存在許多這樣變與不變的關系.同樣，在我們的解析幾何當中也存在許多變與不變的關系，這就是我們今天將要一起探究的主題.

設計意圖優美的畫面和音樂吸引學生注意力，形成了良好的氛圍，同時引出本節課的主題．

圖2

2.2 觀察圖形，初步認知

問題1如圖2，從拋物線y2=x的頂點O作兩條相互垂直的直線，與拋物線分別交于點M，N，所構成的△OMN唯一嗎？

生(齊)：不唯一.

師：那請大家動手畫一畫，并觀察△OMN在變化的過程中有沒有不變的元素？

(學生作圖感知之后，教師借助幾何畫板展示.)

生1：一條邊MN經過定點，而且這個定點好像是(1,0).

師：這個結論我們是從幾何圖形中觀察得到的，那么如何從代數上給出證明呢？

設計意圖從簡單圖形入手，由形到數，使學生直觀感知變化中的不變元素，并運用解析幾何的基本方法——坐標法來解決問題．

師：首先我們考慮如何設出直線方程．

生2：可以設成y=kx+b．

師：設成斜截式方程時,我們需要注意什么？

生(齊)：注意討論與x軸垂直的特殊情況．

師：有沒有別的設法可以避免這個問題？

生3：設成x=ty+a．

師：而且這種設法對于后面和拋物線方程聯立消去變量也帶來了便利．如何使用OM⊥ON這一條件？

生(齊)：kOM·kON=-1．

生4：利用直線方程把x換成y．

師：有沒有更簡單的辦法？

生5：利用拋物線方程把x換成y．

(教師一邊分析一邊板書，證明過程略.)

設計意圖合理設出直線方程以及利用拋物線方程消去變量x是運算過程中的兩個難點．

師：問題證明完了，我們回顧一下，由哪些不變的條件推出不變的結論？

設計意圖歸納小結：由定點O、定直角∠MON推出直線MN過定點．

問題2如果把剛才的條件結論互換位置，即已知直線MN過定點P(1,0)，那么OM⊥ON還成立嗎？

生(齊)：從圖形上觀察好像始終是垂直的．

師：那請一位同學來證明一下吧．

(學生口述，教師板書.)

師：從這個問題我們可以發現由定點O、直線MN過定點P可推出定角∠MON．

圖3

設計意圖探求條件結論的交換是否還能找到變化圖形中的不變元素，并歸納小結：由定點O、直線MN過定點P可推出定直角∠MON．

問題3如圖3，如果直線MN過的定點P的坐標變成(2,0)，那么OM⊥ON還成立嗎？

(教師操作幾何畫板使直線MN運動，讓學生觀察.)

生(齊)：不垂直了．

師：那如何證明呢？

生(齊)：只要計算kOM·kON≠-1就行了．

(學生口述，教師板書.)

設計意圖探求定點P對相關不變元素的影響并引導學生發現定直角∠MON的實質是kOM·kON為定值，并歸納小結：1)由定點O、定值kOM·kON可推出直線MN過定點P；2)由定點O、直線MN過定點P可推出kOM·kON是定值．至此，初步揭示本節課的主題：“3個定”之間存在著內在聯系，可以“知二求一”．

問題4如果將定點O變化到拋物線上的點A(1,1)處，直線MN仍過定點P(2,0)，kAM·kAN還是定值嗎？

(教師操作幾何畫板使直線MN運動，讓學生觀察.)

生(齊)：kAM·kAN不是定值了．

師：那我們剛剛發現的結論2)似乎不成立了，太可惜了．按照剛才的思路,可以重新研究一下結論1)嗎？

設計意圖探求定點O對相關結論的影響．

2.3 引出考題，深入剖析

(教師操作幾何畫板使直線MN運動，讓學生觀察.)

生6：直線MN還是過定點的，只是這個定點不再是x軸上的．

師：那我們如何求出這個定點？

(學生口述，教師板書.)

師：通過剛才的求解過程我們可以發現，直線MN仍然過定點(3，-1)．因此，結論2)不成立很可能是因為定點P選取不當造成的．請同學們再次思考一下結論2).

設計意圖將剛才的結論1)推廣到：由拋物線上定點A和定值kAM·kAN可推出直線MN過定點P．

圖4 圖5

問題6如圖5，如果將定點O變化到拋物線上的點A(1,1)處，直線MN過定點P(3,-1)，kAM·kAN是定值嗎？

(學生板演，教師點評.)

師：剛才這位同學板演得非常好！這個問題其實就是我們2017年4月學考的第24題，作為倒數第二道壓軸題，大家解決得非常出色．

師：總結完了剛才兩個結論，大家會發現“3個定”之間應該存在著內在聯系．如果要繼續研究下去，你還會思考什么問題？

生7：如果已知直線MN過定點P和定值kAM·kAN，那么能否推出定點A？

師：很好，這也是我想知道的問題.

(教師操作幾何畫板,讓學生觀察.)

設計意圖將剛才的結論2)推廣到：由拋線上定點A、直線MN過定點P可推出kAM·kAN是定值，并且通過之前的兩個結論自然地引導學生思考結論3)：由直線MN過定點P、定值kAM·kAN可推出定點A．到此完整揭示本題變化中的不變關系：“3個定”構成一個有機的整體，可以“知二求一”．

2.4 課后探究，小結提升

師：由于時間關系，今天不能在課堂上證明這個結論了，請大家課后自行證明．另外，如果將拋物線推廣到其他的圓錐曲線，還會有類似的結論嗎？

(教師操作幾何畫板讓學生觀察)

師：具體結論也請大家課后思考．

設計意圖“3個定”之間的內在聯系可以推廣到其他圓錐曲線，既進一步深化了本堂課的內容，又引導學生課后作出進一步思考．

師：最后送給大家4句話作為今天的小結“解幾根基坐標法，設而不求化韋達，猜想類比善歸納，變中不變本質察”．

設計意圖課堂小結的4句話既突出了解決直線與圓錐曲線問題的基本方法，又點明了這道學考題的研究過程及問題本質．

3 課例總結反思

從實際的教學反饋來看，本節課的總體架構是切實可行的，收效也比較好.本節課的亮點主要體現在以下3個方面：

3.1 展現規律的生成過程

本節課的內容是講解學考題，選定題目之后如何揭示題目的本質成為教學設計的首要問題．按照常規的教學思路，先拋出考題，然后進行幾個變式訓練，最后小結也能達到揭示問題本質的目的．但這樣的教學有些落入日常俗套，而且對于規律的揭示似乎有些生硬．因為學生始終落在教師之后，對于規律的探究方向不明確，對于他們而言，這樣一些規律似乎總是“從天而降”．因此，要順應學生的邏輯思維，從較低的起點入手，體現問題的自然生成過程，使得學生自然地發現并總結規律[1]．

按照這一思路，本節課為了揭示“定點A、定點P、斜率之積為定值”這3個量之間的內在聯系，先從簡單、特殊的圖形入手：選取特殊的拋物線y2=x方便學生計算(同時也契合考題)，定點A選在原點O，定點P選在x軸上，斜率之積為-1(垂直)，這樣的低起點方便學生入手．然后逐步將3個變量改變成一般情形，實現了難度的逐步上升，同時也使得學生逐步認識問題的本質．這樣的安排符合從簡單到復雜、從特殊到一般、從具體到抽象的一般認知規律．

3.2 堅持學生的主體地位

在教學過程中，教師是主導，學生是主體，教學活動的落腳點應該是學生的積極參與并完成心理認知結構的自我完善．信息接收(聽課)、信息加工(思考)、信息儲存(理解記憶)作為一個有機的整體，學生必須真正經歷每一個環節才能同化新知識，完成對舊知識結構的重組．正所謂“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”，強調的正是在信息加工過程中教師不可替學生代勞．否則教學設計得再好，如果只是教師在唱“獨角戲”，對于學生而言，這樣的課堂也只能是走馬觀花、蜻蜓點水．

本節課從簡單的圖形入手，讓學生不斷經歷“觀察猜想，歸納論證”的過程，思維的主動性被調動．而且在教學過程中，提問采取“點面結合”的方式，既有全班的齊答，也有個體的回答、板書等環節．另外，教師在引導學生歸納小結、提出問題等方面都做了積極的嘗試．

3.3 發揮技術的輔助作用

以多媒體為傳播媒介，以教師對教學內容的設計為核心，合理運用教育技術在提高教學效率、實現教與學的優化過程中發揮了重要作用．它是信息化時代的必然產物，它的再現功能、集成功能、交互功能、擴充功能、虛擬功能等使得學習時空開放化，學習方式多元化，課堂教學手段、方法現代化，教材媒體由靜態轉為動態．它的應用和發展，已經給傳統教學帶來不可估量的影響，引起教學領域的巨大變化[2]．

變化中的不變量是本節課探究的一個主題，適時使用幾何畫板軟件，讓學生觀察動態變化的圖形，直觀感知到不變量的存在，為后續研究指明了方向．這樣的方式使得學生心中的問題自然生成，既激發了學生的求知欲，又使得問題規律的揭示不再是“從天而降”．

當然，本節課也存在許多不足之處，需要在后續的教學中加以改進．比如，在問題1給出后應該先給予學生動手操作觀察的機會，再由教師動畫操作提示結論．教學不能操之過急，應該充分給學生“觀察—猜想”的時間，教育技術作為教學的一種支持手段不能使用過度．另外，在語言表達上還不夠精煉，口語化現象比較多．數學是一門嚴謹的學科，課堂語言也應該是準確、精煉、簡潔的．

[1] 傅瑞琦.鋪設臺階 引人入勝——解題教學“一題一課”的實踐與思考[J].中學教研(數學)，2013(1):16-20.

[2] 羅太華.多媒體技術在高中數學教學中的作用[J].新課程:教師版，2010(7):54.

收文日期：2017-10-31；

2017-12-01

魏侹路(1987-)，男，江西南昌人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2018)03-0005-04