基于核心素養觀下的運算教學案例
——以點到直線距離公式的推導和應用為例

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(寧波第二中學,浙江 寧波 315010)

基于核心素養觀下的運算教學案例
——以點到直線距離公式的推導和應用為例

●孫鋆

(寧波第二中學,浙江 寧波 315010)

文章從數學運算視角展現出“點到直線距離公式中直接運算中的繁雜”“轉化運算中的求簡”“創新運算中的至簡”這3個重要運算層次，通過考題求解表明開展深層運算教學的必要性，呼吁教師要轉變觀念，砥礪踐行，從而全面提高學生的數學運算素養.

核心素養；運算素養；運算教學

1 教學現狀，觸景生情

最近聽了一節關于點到直線距離的公開課，執教教師從課題引入、公式推導、例題講解和課堂練習等環節展開教學，整節課思路清晰，結構完整，達到了教師課前的預設目標，但筆者總覺得缺少點什么.從各個環節的課堂用時來看，公式的引入推導用時8分鐘、例題講解環節用時26分鐘、學生練習用時5分鐘、課堂小結1分鐘,不難發現整節課的重心是放在如何利用公式求解相關問題上.盡管學生通過課堂學習熟悉了點到直線距離公式，同時學會了較多與直線距離有關的問題類型，看起來效率頗高，但是“本節課在學生數學核心素養培養上助力到底如何”引起了筆者深深的思考.

經常聽到教師抱怨學生的運算能力差，但很少有教師關注這是否與平時的課堂教學相關，以及該如何改進我們的教學以提高學生的數學運算能力.國家最新發布的《高中生數學核心素養》明確界定了數學運算素養的內涵，即在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程，主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序和求得運算結果等.

2 運算教學，雄關漫道

事實上，在剛才提及的公開課教學中，學生僅僅熟悉了公式的計算過程和簡單應用，屬于運算中較為低級的水平.點到直線距離公式是解析幾何中基本而重要的公式之一，而推導此公式的方法眾多.余樹林老師列舉了13種具有代表性的推導方法[1]，由此反映出公式推導中所蘊含的豐富的思維方法和運算方式.為此筆者將第一課時的重點放在以數學運算為教學視角，著重選取一些具有代表性的推導方法，讓學生充分經歷公式推導過程中數學運算的3個重要層次.

問題引入設點P(x0,y0)，直線l:Ax+By+C=0(其中A2+B2≠0)，如何求點P到直線l的距離d？

分析先考慮特殊情況：當A=0時，

那么當A≠0,B≠0時，如何推導點P到直線l的距離d呢[2]?

2.1 繁雜中培養頑強、細心的運算品格

圖1

思路1如圖1，直接過點P作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ的長度即為所求.這是學生容易想到的方法，直接自然，但教科書因其運算繁瑣舍棄了該方法而另辟蹊徑.為了讓學生明白運算復雜在何處、怎樣運算才能突破運算的瓶頸而獲取成功，筆者采取學生先獨立運算再相互合作的方式展開教學.

解法1已知直線l的方程為

Ax+By+C=0,

(1)

易得直線PQ方程為

即Bx-Ay+Ay0-Bx0=0.

(2)

式(1)×A+式(2)×B,得

(A2+B2)x=B2x0-ABy0-AC,

即

式(1)×B-式(2)×A，得

(A2+B2)y=-ABx0+A2y0-BC,

即

從而|PQ|2=

于是

評注上述解法的關鍵在于正確求得點Q的坐標，只要合理消元即可實現.在點P,Q距離的化簡過程中必須注意結構的相似性,即發現公因式，這樣就能突破化簡中的瓶頸，當然，也可以只求點Q的橫坐標，進而利用直線上兩點距離公式求解.

2.2 轉化中強化運算轉換能力

解法1運算量較大，為了避免求垂足Q的坐標，思考能否加以適當轉化.回顧在解三角形或立體幾何中求某一線段長度的常規策略，即尋找與之有關的三角形(特別是直角三角形)，下面從尋找直角三角形的視角得到解法2和解法3.

思路2如圖2，過點P作y軸的平行線交l于點N,通過解Rt△PNQ來求PQ的長度.

從而在Rt△PAQ中,

|PQ|= |NP|·|cosα|=

評注解法2通過構造直角三角形求得|PQ|，簡化了運算，其關鍵在于三角形內角與直線傾斜角的關系，從而進一步轉化為斜率形式.同理，我們可過點P作x軸的平行線來選取直角三角形，當然還可以同時作兩條平行線(即教材給出的解法).

圖2 圖3

在Rt△PMN中，由三角形面積關系d·|MN|=|PM|·|PN|,得

評注解法3利用等面積法，這是求點線距離的常用策略(立體幾何中常用等體積法求點面距離)，在|MN|的化簡中同樣需要注意公因式的提取.

2.3 創新中創設目標條件的運算捷徑

思路3通過比較問題的條件和目標，創造路徑實現條件與目標間的聯系，從而實現運算至簡.

解法4設Q(x,y)，由題意得

即A(y-y0)-B(x-x0)=0.

(3)

又Ax+By+C=0,即

A(x-x0)+B(y-y0)=-(Ax0+By0+C).

(4)

由式(3)和式(4)，得

(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]=

(Ax0+By0+C)2,

故

評注式(4)的變形充分考慮了與式(3)的聯系，同時注意目標距離中存在x-x0與y-y0，兩式平方和充分考慮了式子的結構和目標的關系,解法4也體現了解析幾何中常用的“設而不求”技巧.

通過點到直線距離公式多種方法的推導，著重展現了“直接運算中的繁雜”“轉化運算中的求簡”“創新運算中的至簡”這3個重要層次，讓學生經歷了一次以運算為主導的學習體驗，盡管第一課時對運用公式求解相關問題類型涉及較少，但筆者認為還是值得嘗試的.

3 考題求解，水到渠成

江一鳴老師展示了學生求解一道高考題的困境，通過透析困境因素來揭示教學上的眾多缺失[3].事實上，對點到直線距離公式的深度運算教學會帶來考題解答的水到渠成,現引述考題如下.

圖4

1)求曲線C的方程；

(2008年浙江省數學高考理科試題第20題)

又B(x0,k(x0+1))，于是

故

解法2通過選取與線段AQ有關的直角三角形得到|QA|.如圖5,延長直線MA交x軸于點D,由解法1易得

從而在Rt△QAD中，

其中α為直線l的傾斜角，下同解法1.

圖5 圖6

解法3可類比教材，利用等面積法求解|QA|.如圖6，過點Q作y軸的平行線，交直線MA于點E,延長MA交x軸于點D.由解法1易得

若用直線上兩點距離公式求|DE|，則會簡化計算.

在Rt△DEQ中,

下同解法1.

評注通過目標分析，明晰第2)小題的主要運算對象為|QA|,由QA⊥MA確定運算方向即求點Q到直線AM的距離.解法3借助于點到直線距離公式的推導方法選擇相應的運算路徑,同時要重視化簡|QA|的過程中因式分解的變換能力,從而達成問題求解的關鍵運算.

4 素養培養，初心不忘

4.1 觀念轉變為先導，提升運算教學的實踐力度

1962年的《高中數學大綱》提出了運算、空間想象、邏輯推理三大能力，而本世紀初的《高中數學課程標準》發展為抽象概括、邏輯推理、空間想象、運算求解、數據處理五大能力.2016年國家正式提出“數學核心素養”概念，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據處理等六大要素.不難發現數學能力的內涵表述盡管多次變化，但數學運算能力作為重要的能力核心之一始終獲得認同.

筆者發現：教師在教學中常常有重思維方法而輕具體運算的傾向，其主要原因是將運算單純理解為計算，弱化了數學運算的內涵[4].因此，必須轉變觀念，樹立積極培養學生數學運算素養的意識并確信運算教學是數學教學的重要組成部分.通過針對性課堂教學，學生的運算能力是可以有效培養的.

4.2 概念教學為突破，展現數學運算的層次結構

運算能力的組成結構包括對題目信息的挖掘能力、定義公式定理法則等的運用能力、運算方法的選擇能力、數學思想方法的運用能力和估算能力等，由此可見數學運算能力是一種綜合性的數學能力[5].

教師在教學設計中應該有意識地探尋運算教學的切入點，在概念課教學中特別是一些重要公式的推導過程中常常具有思想方法多元和算法多樣的特性，教師要舍得花時間讓學生體驗運算的復雜性和求簡性.筆者認為運算的直接性是運算的低級水平，運算的合理性是運算的中級水平，運算的創新性是運算的高級水平，既能算得快又能算得好應是師生的共同追求.

4.3 多種方式為策略，強化運算素養的有效培育

北京師范大學林崇德教授認為：運算能力的形成是一個從低級向高級發展的過程，首先對運算應有感性的認識，能在相關問題中識別它，對運算的法則、公式、運算律等應知其然又知其所以然；其次通過練習形成技能，能夠解決一些基本的常規問題；再次能夠對同一問題運用多種運算，并且迅速準確地判斷出最合理的間接運算路徑.因此，教師要以概念教學為突破，以習題教學為抓手，從學生明晰運算對象、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序和求得運算結果等諸多環節展開運算教學，努力提升學生的數學運算素養.

[1] 余樹林.點到直線距離公式的十三種證明方法[J].中學數學雜志，2009(1)：20-23.

[2] 劉紹學.普通高中課程標準試驗教科書·數學(必修2)[M].北京:人民教育出版社,2007.

[3] 江一鳴.追問“缺失” 重在目標——反思“點到直線距離”教學的預設與生成[J].中學數學教學參考，2011(3)：23-26.

[4] 孫鋆.都是定義惹的禍[J].中學教研(數學)，2017(9)：7-9.

[5] 簡洪權.高中數學運算能力的組成及培養策略[J].中學數學教學參考，2000(1/2)：35-37.

收文日期：2017-11-04；

2017-12-06

浙江省寧波市2017年基礎教育教研課題(0117)

孫 鋆(1979-)，男，浙江寧波人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2018)03-0001-04