數形結合思想對提高學生解決問題能力的作用

劉明

數學是研究客觀世界的空間形式與數量關系的科學，數是形的抽象概括，形是數的直觀表現。華羅庚先生指出，數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。數形結合在數學解題中有重要的指導意義，這種“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，即數量問題和圖像性質是可以相互轉化的，這不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。

一、數形結合思想有利于激發學生解決問題的興趣

我聽過一節蘇教版四年級上學期“認識平行”的課。教師有意識從現實生活中引入新課，一上課，教師就出示了一張掛圖：

師首先問：“你在什么地方見過這些物體？”

在學生回答后，師接著問“你從圖中能找出哪些直線，它們的位置關系是付么樣的？”

學生說出了它們有的靠到了一起，有的沒靠到一起。

師畫圖板書出了它們的位置關系。

師講道：“像這樣在同一平面內，不相交的兩條直線互相平行，其中一條直線叫作另一條直線的平行線。”

提問：你能從生活中找出一些平行的例子嗎？

這節課教師從學生身邊的、熟悉的地方著手引入新知，抽象出平行的概念，按照“具體場景一抽象出標準圖形一回歸生活舉例”的順序，從生活中來，到生活中去，幫助學生建立平行的科學認識，增強學生用數學的眼光觀察周圍世界的意識。這樣運用數形結合的思想來教學有利激發學生解決問題的興趣。

二、數形結合思想有利于降低學生解決問題的難度

在課堂教學中，教師應注意用數形結合的思想訓練直覺思維，讓學生養成整體觀察、收集信息、把握問題的好習慣。把一些較難的問題圖形化，這樣有利于降低學生解決問題的難度，培養學生解決問題的能力。

例如，在教學蘇教版數學五（下）《公倍數和最小公倍數》時，教師作了如下安排：

1.操作活動

教師在黑板上貼出（長3厘米、寬2厘米的長方形紙片和邊長6厘米及8厘米的正方形紙片），然后提問：如果用一些長是3厘米、寬是2厘米的長方形紙片分別鋪在這兩個正方形上，你覺得可以正好鋪滿哪個正方形？

讓學生說出自己的猜想，接著讓學生借助學具動手拼一拼驗證自己的猜想是否正確，并在小組內交流自己的發現。

學生動手操作后，提問：通過剛才活動，你有什么發現？（學生通過剛才的活動會發現用上面的長方形紙片能鋪滿邊長是6厘米的正方形，不能鋪滿邊長是8厘米的正方形。）

師提問：為什么能正好鋪滿邊長是6厘米的正方形，而不能鋪滿邊長是8厘米的正方形？

教師要引導學生結合自己實際操作的圖像（如下）說出因為用長是3厘米寬是2厘米的長方形鋪滿邊長是6厘米的正方形時，每條邊各鋪了多少次？要求學生列出式子。再讓學生說說自己在鋪邊長是8厘米的正方形時是怎樣的一種情況，聯系自己列的式子闡述為什么不能鋪滿。

2.想象拓展

教師提問：請同學們在自己的腦海里想想這樣的長方形還能正好鋪滿邊長是多少厘米的正方形？

先讓學生自己獨立思考，然后帶著自己思考的結果在小組內交流。（學生的答案可能有邊長是12厘米、18厘米、24厘米……的正方形）

教師提問：這什么能鋪滿這些正方形？說說你的理由。（引導學生明確：12、18、24.……這些數既是2的倍數也是3的倍數。）

3.闡述概念

師講述：6、12、18.……既是2的倍數也是3的倍數，它們在我們數學上就稱作是2和3的公倍數。（板書：公倍數）

提問：兩個數的公倍數的個數是有限的還是無限的？為什么？

在學生討論后，教師要幫其明確：因為一個數倍數的個數是無限的，所以兩個數的公倍數的個數也是無限的，可以用省略號來表示。

師提問：8是2和3的公倍數嗎？為什么？

讓學生通過討論明白：盡管8的2的倍數，但是8不是3的倍數，所以8不是2和3的公倍數。

此段教學，教師讓學生動手操作用長3厘米寬2厘米的長方形，看它能把哪個正方形鋪滿，不能把哪個正方形鋪滿，為什么？引發學生進一步思考，結合自己操作過程中形成的圖像找出其中原因，從而知道因為6既是2的倍數又是3的倍數所以長方形紙片能把邊長是6厘米的正方形鋪滿；8雖然是2的倍數，但它不是3的倍數，所以不能被長方形鋪滿，這樣能讓學生更好地理解公倍數的概念含義。教師巧妙地利用數形結合的思想把公倍數的概念圖形化，降低了學生理解的難度，便于學生探索理解，既讓學生學習了新知，又培養了學生解決問題的能力。

三、數形結合是學生解決問題的重要途徑

很多時候，我們在解決問題時，數學結合是我們常用的手段，它便于我們研究問題、解決問題，它是我們培養學生解決問題能力的重要途徑。

在教學釘子板上的多邊形時，教師進行了以下設計：

研究A=1時的規律。

師：那我們就先從簡單的圖形開始人手。（課件出示四個圖形）它們的面積分別是多少呢？小組內快速交流。

學生交流后讓生一個一個說四個圖形的面積。（預設：學生可能都會用計算的方法來算出圖形的面積，在說3號圖形的時候引導學生知道可以用數的方法來數出圖形的面積。（師用課件把學生說的面積打在表格中）

師：面積知道了，我們想研究面積和誰有沒有關系的啊？（釘子數）

接下來我們就來數“多邊形邊上的釘子數”。

師提問：會數嗎？數什么？再讀一遍。那圖形中間的釘子數不數呢？

教師帶領學生齊數多邊形邊上的釘子數（師課件演示，并將數出的結果打在表格中）

師：數據我們都整理在表格中，我們認真觀察。嗯！好像有所發現了！（板書：觀察）

讓一學生說自己發現的規律。教師帶領學生總結出規律。（預設：1.如有學生表達不清時，只要其講到2倍關系時，師就可相機說要講清誰是誰的2倍。2.如有學生說到2倍，師可說那反過來就是一半、1/2，讓生說誰是誰的一半。）

師最后總結道：面積數是邊上釘子數的——？（生接著說一半）邊上釘子數是面積數的——（生接著說2倍）這樣說還真有點繞，能簡潔點嗎？（用字母表示）

課件出示：面積用S表示，邊上釘子數用n表示。

師引導說那：S=n÷2

師：帶著這個發現我們再來看，前面是8幅圖，剛才研究了上面的四幅圖，下面我們來研究下面的四幅圖。

讓學生一起數出圖形的邊上釘子數和面積，引起學生反思，為什么剛剛的發現在這里被否定了。

師引導學生“回頭再來看圖”“需要我們從不同中找相同”讓學生發現上面四幅圖中間只有一個點，下面四幅圖中心有2個或2個心上的點。

師課件演示上面四幅圖中心一個點。

師引導學生發現我們剛才的發現是有前提的（a=1）用文字語言表達剛才的發現。

學生在探索新知時，如果只是單純的用代數的表征來進行邏輯思維推理，這和學生的年齡認知特點不符，這個階段的學生在進行探索新知時，主要依賴直觀形象，那這時，我們應用圖像表征來進行推理，就便于學生來探索新知，這樣了符合學生的認知特點。如果不采用這樣的教學，學生只依賴抽象的思考是不能探索出以上新知的。

長期以來，教學數學知識是一條明線，得到數學教師的重視；數學思想方法是一條暗線，容易被教師所忽視。在我們的小學數學教學中，如果教師能有意識地運用數形結合思想來設計教學，那將非常有利于學生從不同的側面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力。“數形結合”對教師來說是一種教學方法、教學策略，對學生來說是一種學習方法，如果長期滲透，運用恰當，則使學生形成良好的數學意識和思想，長期穩固地作用于學生的數學學習生涯中。作為一線教師，我們應該系統運用數形結合思想進行數學教學，讓學生養成用數形結合思想來分析問題、解決問題，這樣既有利于學生理解、掌握新知，更能提高學生解決問題的能力。endprint