一類非線性相對轉動系統的動力學行為及其機理分析

韓清振 ， 何 仁

(江蘇大學 汽車與交通工程學院車輛工程系，江蘇 鎮江 212013)

實際工程中存在著大量的旋轉機械，在研究其軸系的扭轉振動行為時，以往學者們大多通過適當簡化將扭振模型簡化為線性系統，并應用相關理論研究扭轉系統的動力學行為，這在一定程度上解決了實際工程中的許多問題。但是工業技術的日益發展，對傳動系統提出了更高的要求，需要深入挖掘傳動系統可能展現出來的動力學行為，這就需要對傳動系扭振系統的動力學行為做一般性的探究，此時可將傳動系扭振系統歸結為相對轉動系統，采用非線性動力學等現代分析方法深入分析其在各類條件下可能展現出的動力學行為。

隨著非線性科學以及計算機技術的迅猛發展，已經有許多學者應用非線性相關理論分析扭振系統中的動力學行為。如Verichev[1]研究了不平衡軸系的非線性扭轉振動，通過平均方法將扭轉振動模型轉化為類Lorenz系統，分析了平衡點的穩定性以及不平衡軸系扭振系統的動力學行為。Bulut[2]研究了具有十字軸萬向節的傳動系的扭振系統的動力學行為，文中將傳動軸作為分布參量系統，應用有限元方法建立了相應的模型，應用單值矩陣法研究了參數激勵下傳動系的扭振特性。Xia等[3]通過實驗以及理論分析等方式研究了鎳鈦形狀記憶合金材料絲線的扭振模型的熱機械響應跳躍現象。通過旋轉角度和溫度測量得到了鎳鈦形狀記憶合金絲線在尾部正弦激勵下的瞬態和穩態演變過程。張輝等[4]建立了包含傳動系齒側間隙和輪胎的摩擦特性等非線性因素的傳動系的非線性扭振模型，通過研究解釋了燃料電池轎車的縱向沖擊抖振問題。時培明等[5]建立了具有非線性摩擦阻尼的含間隙軋機多自由度傳動系統非線性扭振數學模型，研究了軋機在周期擾動力矩激勵下的分岔等動力學行為。Chen等[6]考慮電動車傳動系機電耦合效應，建立了機電耦合非線性扭振模型，分析了電磁參數對扭振系統的動力學行為影響。侯東曉等[7]根據分析傳動系扭振問題常用的兩自由度扭振模型，研究了傳動系受擾動時的動力學行為，得到了扭振系統的轉遷集及分岔行為。尚慧琳等[8]研究了具有三次非線性剛度的相對轉動系統的動力學行為以及時滯反饋控制問題等等。

簇發(bursting)行為是當動力系統中存在兩個或多個尺度時展現出的一類快慢動力學行為。目前針對動力系統的簇發行為分析多見于神經系統中，Lzhikevich[9]針對神經動力系統中可能出現的余維一類型的簇發振蕩行為做了總結并研究了其分類命名方法，且其中的一些簇發現象已經在神經動力系統中得到驗證，文中的命名方法同樣被其他領域的學者所沿用[10-12]。但是目前針對機械系統中的簇發行為分析研究甚少[13]，有待進一步探究。

本文考慮具有二次及三次非線性扭轉剛度的相對轉動系統，將周期激勵項作為相對轉動系統的控制參數，應用Routh-Hurwitz判據判斷相對轉動系統平衡點的穩定性。應用分岔理論研究平衡點的分岔行為，并通過仿真分析平衡點在參數平面上的分岔現象，研究平衡點個數以及性質隨參數變化的演化規律。通過仿真分析相對轉動系統的全局動力學行為，應用相平面、時間歷程圖、Poincaré截面圖以及平衡點曲線等深入研究在不同外激勵角頻率及系統參數下相對轉動系統的動力學行為。

1 動力學模型

(1)

(2)

考慮實際工程中的相對轉角變化，式(1)和式(2)相減得

圖1 相對轉動系統的簡圖 Fig.1 Diagram of nonlinear relative rotation system

(3)

則式(3)可以轉換為如下無量綱模型：

(4)

式中：F(t)為強迫激勵項，式(4)是含有非線性扭轉剛度的相對轉動系統的動力學普遍方程，是工程中描述傳動系動力傳輸性態時常用的方程。為了便于分析，假設經過化簡后，F(t)僅包含擾動部分，即令F(t)=Asin(ωt)。

假設式(4)中參數都為正，并將式(4)寫作狀態方程的形式如下

(5)

2 平衡點穩定性及其分岔行為分析

為了分析平衡點隨參數變化的穩定性以及分岔特性，令u=F(t)=Asin(ωt)，將u作為控制參數，則式(5)寫為

(6)

當u=0時，整個系統將會退化為自治系統，此時E0(0,0)始終為系統的平衡點，其穩定性由相應的特征方程

λ2+μλ+k1=0

(7)

決定，通過特征方程(7)可知當且僅當μk1>0時，平衡點E0(0,0)為穩定平衡點。參數μ，k1都為正，故平衡點E0始終為穩定平衡點。

(8)

決定，通過特征方程(8)可知，

對于二維的動力系統，其平衡點失穩時可能存在Fold分岔及Hopf分岔等分岔行為，平衡點E1,2產生Fold分岔的分岔集分別可以表示為：

根據特征方程(8)可知，當平衡點E1,2發生Hopf分岔時，必然有μ=0，但文中考慮μ>0，故自治系統不會發生Hopf分岔。

(a) 平衡點Fold分岔集

(b) 平衡點隨參數k2變化的平衡點曲線圖2 平衡點Fold分岔集和隨參數k2變化的平衡點曲線Fig.2 Fold bifurcation set of equilibrium and Bifurcation curve of equilibrium versus k2

為了更加形象的說明自治系統的分岔行為，將參數取為k1=1,μ=0.1?？傻闷胶恻c在參數平面(k2,k3)上的分岔集，如圖2(a)所示。圖中LP表示Fold分岔曲線，該曲線將參數平面分為兩個區域，區域A內存在1個穩定平衡點E1，當區域A內的平衡點穿越Fold分岔曲線進入區域B內時，平衡點E1的穩定性不發生改變，且產生兩個新的平衡點E0和E2，其中E0為不穩定平衡點，E2為穩定平衡點。令參數k3=0.1，可以得到平衡點隨參數k2的變化規律，如圖2(b)所示，圖中實線代表穩定平衡點，虛線代表不穩定平衡點，LP表示Fold分岔點，分岔參數為k2=0.632 5。當參數k2=0.1時，自治系統存在一個穩定的平衡點E1(0,0)。當參數k2=0.8時，自治系統存在三個平衡點，其中E1(0,0)和E2(-6.449 487 43,0)為穩定平衡點，E0(-1.550 510 257,0)為不穩定平衡點。

當u≠0時，將u作為一個參數分析系統的平衡點穩定性及分岔特性。假設Eq(x0,0)為式(6)的平衡點。則根據式(6)有如下關系式

此時平衡點的穩定性由對應的特征方程決定

當平衡點發生Hopf分岔時，參數需滿足

但是本文考慮μ>0，故式(6)不會發生Hopf分岔。

令參數k1=1,k3=0.1,μ=0.1，通過數值仿真可得到式(6)在參數(μ,k2)平面上的分岔集，如圖3所示。圖中LP表示Fold分岔曲線，CP表示余維二分岔點，分岔參數為u=-0.608 6，k2=0.547 7，Fold分岔曲線將參數平面劃分為兩個區域。區域A內存在一個穩定平衡點，區域B內存在三個平衡點，其中兩個為穩定平衡點，一個為不穩定平衡點。

圖3 參數u-k2平面的分岔集Fig.3 Bifurcation set of u-k2

3 相對轉動系統動力學行為仿真分析

3.1 分岔及混沌動力學行為分析

3.1.1 平方非線性剛度系數k2對動力學行為的影響

令k1=1,k3=0.1,μ=0.1，A=0.4,ω=1，得到相對轉動系統動力學行為隨參數k2變化的分岔圖如圖4所示，可見在0.5

圖4 相對轉動系統隨k2變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of relative rotation system versus k2

圖5 不同k2值下的相圖及Poincaré截面圖Fig.5 Phase portraits and Poincaré sections of different k2 values

3.1.2 激勵角頻率對動力學行為的影響

令k1=1,k2=0.6,k3=0.1,μ=0.1，A=0.4，則得到的系統隨參數ω改變的分岔圖如圖6所示。為了便于描述，下文以ω值減小的方向分析動力學行為的演變過程，當1.04<ω<1.1時，為周期一運動,如圖7(a)所示，隨著ω值的減小，系統并未經過倍周期分岔的形式演化，而是直接進入周期三運動(如圖7(b)),進而演變為周期六運動。當ω值繼續減小時，約在ω=0.949時由周期六運動演變為如圖7(c)所示的運動。當ω穿越0.939時又演變為如圖7(d)所示的吸引子。在區域0.89<ω<0.924的區域內出現了如圖7(e)所示結構的吸引子，隨著ω的繼續減小，在ω=0.836時可到到如圖7(f)所示的混沌吸引子。值得注意的是，在ω<0.89的區域內系統并非是經過倍周期分岔的形式演化到混沌的過程，而是吸引子的結構發生了變化，此區域為混沌區域，且中間出現了周期窗口，圖7(g)～(i)為在此區域不同ω值是對應的解。

圖6 相對轉動系統隨角頻率ω變化的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of relative rotation system versus ω

3.2 fold/fold簇發行為分析

3.2.1 非對稱式fold/fold簇發行為

將ω取為0.01時可得到如圖8(a)所示的快慢動力學現象。為揭示圖8(a)中動力學現象產生的機理，將其投影到u-x平面[13]上并與圖8(a)疊加,如圖8(b)所示。這種動力學行為是由于平衡點曲線的兩個Fold分岔造成平衡點的失穩，系統軌道受穩定平衡點吸引引起的，且軌道關于控制參數u=0不對稱，為與后文區別，這里稱之為非對稱式fold/fold簇發。

圖7 不同ω值下的相圖及Poincaré截面Fig.7 Phase portraits and Poincaré section of different ω values

(a)

(b)圖8 ω=0.01時的相圖、時間歷程、平衡點曲線以及平衡點曲線與相圖的疊加圖Fig.8 The phase portraits, time history, equilibrium curve and transformed phase diagram for=0.01

3.2.2 激勵頻率ω對簇發行為的影響

為了便于分析激勵頻率ω對fold/fold簇發行為的影響，將參數取為k1=1,k2=0.6,k3=0.1,μ=0.1，A=1，將激勵頻率ω分別取為0.01和0.1時，相應參數下的fold/fold式簇發行為的的時間歷程如圖9(a)和(b)所示。

(a) ω=0.01

(b)ω=0.1圖9 時間歷程圖Fig.9 Time history map

可見隨著激勵頻率的增大，相對轉動系統的簇發行為將越來越趨于平緩。這是因為一個完整的周期性簇發振蕩過程與激勵的周期有關，即慢變量的頻率與激勵頻率相近，而快速振蕩過程與系統的固有頻率有關，因此當激勵頻率接近相對轉動系統的固有頻率時，快速振蕩過程便會相對平緩。

3.2.3 激勵振幅A對簇發行為的影響

為了得到fold/fold簇發行為，顯然對激勵的振幅也有一定的要求，僅當激勵“掃過”兩個fold分岔點時才能發生fold/fold簇發行為，與對稱式fold/fold簇發行為不同，當兩個fold分岔點關于控制參數u=0不對稱時，若激勵僅“掃過”一個fold分岔點時，還可以得到一種“Jump”現象，如圖10所示。圖中對應參數取為k1=1,k2=0.8,k3=0.1μ=0.1，A=0.6，ω=0.01。

圖10 “Jump”現象Fig.10 “Jump” phenomenon

3.2.4 非線性系數k2對fold/fold簇發行為的影響

為了研究平方非線性剛度系數k2對相對轉動系統簇發行為的影響，可以根據圖2中的CP分岔點將k2分為兩部分，即0.547 7>k2>0和1>k2>0.547 7。在0.547 7>k2>0區域內由于僅存在一個穩定的平衡點，故不會產生簇發行為。

在1>k2>0.547 7的區域內，顯然圖2中兩條fold分岔曲線并不是關于u=0對稱，且隨著k2值增大兩條曲線上對應的u值都會增長，但是LP2對應的u值增長的速度明顯比LP1快，因此，同一k2值下兩條曲線上對應的u之間的距離將越來越大，同時可能會存在一個k2值，使得相對轉動系統發生對稱式fold/fold簇發行為，經過這一點后，若繼續增加k2值，則又可以得到不對稱的fold/fold簇發行為。經計算當發生對稱式fold/fold簇發時對應的參數k2=0.670 820 393 2，相應的u=±0.430 331 482 9，此時令ω=0.01，A=0.5得到的對稱式fold/fold簇發行為如圖11所示。

圖11 對稱式fold/fold簇發Fig.11 Symmetric fold/fold bursting

4 結 論

(1) 根據具有非線性剛度的傳動系相對轉動模型。將擾動作為控制參數，應用Routh-Hurwitz判據判斷了相對轉動系統平衡點的穩定性，得到了相對轉動系統的平衡點的穩定性判別條件。

(2) 應用分岔理論研究了平衡點失穩時的分岔行為，推導了平衡點產生Fold分岔的條件。通過仿真得到了平衡點在雙參數平面上的Fold分岔集，討論了不同參數區域內平衡點的個數以及穩定性問題。

(3)研究了相對轉動系統隨平方非線性剛度系數及外激勵角頻率變化的全局動力學行為，得到了周期三和混動等動力學行為。得到了fold/fold簇發振蕩行為，同時發現隨著激勵角頻率的增大，簇發行為將趨于平緩，通過調整平方非線性剛度系數，可以得到對稱式fold/fold簇發行為。

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