學習雙機制理論在數學教學中的應用
——以“多邊形內角和”的教學為例*

孫自海 王道宇

(1.合肥第六十八中學 2.合肥市教育科學研究院 安徽合肥 230001)

數學由概念、定理、公式和法則組成，教學時加以正確闡述，才能實現深度教學之目的。

下面以上海科技出版社出版的教育部審定的義務教育教科書數學八年級下冊中的“多邊形內角和”的教學為例，對怎樣做到準確理解學習雙機制理論，從而實施教學作一探討。

1.準確理解

教師在教學時，參考最多的資料是教師教學用書，而教師教學用書卻不是教材編寫人員撰寫的。因此，教師教學用書的編寫人員對課程標準的理解有限，對教材的編寫意圖理解有限。教學時要準確理解所教內容與學習雙機制理論之間的定位。

1.1 課型定位

“多邊形內角和”是上海科技出版社出版的教育部審定的義務教育教科書數學八年級下冊第19章第1節第1課時的內容，本內容的課型是數學概念和規律教學相結合的課型，在概念教學課型中，本內容的概念形成過程不從屬于分類研究、聚類研究、規律研究的形成過程，而規律教學課型中屬于推理研究的教學過程結構，采用的流程為

1.2 知識分類

學習雙機制理論中把知識分為聯結陳述性知識、聯結程序性知識、運算陳述性知識和運算程序性知識四類，落實到多邊形內角和中，諸如多邊形概念，多邊形的邊、頂點、內角、外角、對角線、凸多邊形的概念，多邊形內角和定理推理，多邊形內角和定理應用的知識分類如下：

1.3 思維建構

多邊形，多邊形的邊、頂點、內角、外角的這種聯結陳述性知識可以通過類比三角形獲取，而對于對角線、凸多邊形的這種聯結陳述性知識就只有通過邏輯推理的方法獲取。

式中：n為支鉸座聯結螺栓數量；yi(i=1,2,…,n)為計算螺栓到中和軸的距離，ymax為螺栓到中和軸的最遠距離。

多邊形內角和的推導屬于運算程序性知識，屬于規律教學課型，其流程為提出問題、形成猜想、推理探究、歸納結論、運用結論。因此在三角形內角和為180°的基礎上，四邊形的內角和為多少呢？提出問題，用分割轉化的方法，把四邊形分割為兩個三角形，其內角和為360°=(4-2)×180°，然后對五邊形、六邊形進行探究，那么n邊形的內角和是否為(n-2)×180°？形成猜想，通過邏輯推理的方式得到正確的結論。也即是說運算程序性知識可以通過邏輯推理的方式獲取。

多邊形內角和的應用我們的理解是聯結程序性知識，這種知識我們是通過計算和解方程的方式來獲取的。

2.教學實踐

教學實踐中又如何把為聯結陳述性知識、聯結程序性知識和運算陳述性知識，運算程序性知識落到實處的呢？現以“多邊形內角和”的教學為例，教學時我們采用如下步驟：

2.1 任務問題化

多邊形的內角和有關概念隸屬于聯結陳述性知識，但這種知識可以通過類比和邏輯推理的方式獲得，因此，教學中采用任務問題化形式組織教學，設計如下問題：

(1)你能回憶出三角形是怎么定義的嗎？三角形中的三條線段有什么限制？

(2)三角形有哪些相關概念？

(3)你能仿照三角形的定義給多邊形下定義嗎？

(4)你能仿照三角形的相關概念給多邊形的相關概念下定義嗎？

(5)你能體會出對角線、凸多邊形的定義與多邊形及多邊形的相關概念有什么不同嗎？

(6)多邊形的表示由哪兩種元素組成？

通過對以上問題的詮釋，從三角形，三角形的邊、頂點、內角、外角類比出多邊形，多邊形的邊、頂點、內角、外角，而對角線和凸多邊形的相關概念就只能用邏輯推理的方法獲得了。

2.2 推理分步化

多邊形的內角和定理隸屬于運算程序性知識，其流程為提出問題、形成猜想、推理探究、歸納結論、運用結論。多邊形的內角和的推導程序兩步：

第一步，獲取轉化的方式，主要是分割，給學生在思維上鋪設臺階。

學生在對四邊形進行分割時，一生在探究時首先在四邊形的內部取一點，連接各頂點(圖1)，得到四個三角形，其內角和為4×180°-360°=360°。但該生的思維不是最簡思維。一生根據四邊形的四個頂點只有一個是不相鄰的知識，于是連接不相鄰的兩個頂點形成對角線(圖2)，這時分割成兩個三角形，得其內角和為360°，該生的思維最簡。一生過一頂點作不相鄰邊的平行線(圖3)，利用兩平行線被第三條直線所截的同旁內角互補和同位角相等的知識，也能得到360°。一生過兩頂點向所對邊作垂線(圖4)，因其中有一矩形，也能得到360°。一生延長兩對邊，通過三角形的外角和相鄰內角的關系，也能得到360°(圖5)。但后三位學生的方法不具有一般性，因此應當排除，說明學生的思維比較活躍。一生在形外取一點，連接各頂點，也能得到360°(圖6)。一生在其中一邊上取一點，分割成三個三角形，也能得到360°(圖7)。這七位學生的推導方法中，只有第二位和第七位學生的思維最簡潔。

第二步，獲取定理的統一性，為今后學習數學歸納法打下基礎。

由三角形出發，到四邊形時從一個頂點出發如何連接兩個頂點，形成多少個三角形，五邊形呢？n邊形呢？得到下表：

邊數引出對角線的條數分成三角形的個數內角和412360°523540°…………nn-3n-2(n-2)×180°

利用三角形的內角和，把未知轉化為已知，如圖8所示。

2.3 應用具體化

在得到多邊形內角和定理的情況下，如何應用這一聯結程序性知識呢？我們的做法是應用具體化。

2.3.1 直接應用

(1)求十邊形的內角和；

(2)求如圖9中x的值.

2.3.2 思想應用

①已知一個多邊形的內角和為1080°，則它的邊數為。

②已知一個多邊形的每一個內角都是156°，則它是邊形。

2.4 學習小組化

在學習過程中，如何實現任務問題化、推理分布化、應用具體化的呢？我們的做法是把全班學生分成若干小組，每組4-6人，圍繞任務問題，推理步驟，具體應用，展開討論，然后小組派代表交流各自的學習情況，老師糾正學生在學習中的問題。

總之，教師只有按學習雙機制理論中的知識分類對所授內容定位，明確所授內容屬于哪種課型，說清進行獲取知識的途徑，讓學生積極參與，獲得成功體驗，這樣不僅能使學生獲得知識更能讓學生形成能力。