全國名校拋物線測試培優卷(B卷)答案與提示

一、選擇題

1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 6.C 7.C 8.B 9.C 1 0.B 1 1.C 1 2.A 1 3.B 1 4.C 1 5.C 1 6.D 1 7.D 1 8.D 1 9.A 2 0.D 2 1.D 2 2.B 2 3.B 2 4.A 2 5.B 2 6.B 2 7.C 2 8.A 2 9.A 3 0.B

二、填空題

三、解答題

5 1.(1)由拋物線C:y2=2p x(p＞0)過點P(1,-2),可得4=2p,p=2。

從而拋物線的方程為y2=4x,準線方程為x=-1。

(2)拋物線的焦點為F(1,0),所以直線l的方程為y=2x-2。

設點A(x1,y1),B(x2,y2)。

則由韋達定理有:x1+x2=3,x1x2=1。

5 2.(1)拋物線C:x2=2p y(p＞0)的焦點為拋物線C的準線方程為y=由拋物線的定義可知|B F|等于點B到拋物線C的準線的距離。又因為點B到x軸的距離比|B F|小1,所以點B到x軸的距離比點B到拋物線的準線的距離小1,故,解得p=2。所以C的方程為x2=4y。

(2)由(1)得拋物線C的焦點為F(0,1),設直線l的方程為y=k x+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),則

Δ=1 6k2+1 6＞0,由韋達定理得x1+x2=4k,x1x2=-4。

設點O到直線l的距離為d,則S△BOF=

又S△BOF=S△AOD,故|B F|=|A D|。又A,B,D,F在同一直線上,所以

因此,(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(4k)2-4×(-4),整理得1 6k4+1 6k2-1=

5 3.(1)將E(2,2)代入y2=2p x,得p=1,拋物線方程為y2=2x,焦點坐標為

5 4.(1)因為圓M的圓心在拋物線上且與拋物線的準線相切,且圓半徑為3,故b=

因為圓過原點,所以a2+b2=9,a2=

又a2=2p b,故

因為p＞0,所以p=4,拋物線C的方程為x2=8y。

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),P(m,-t),拋物線C的方程為所以y′=

所以x1,x2為方程x2-2m x-4t=0的兩根,x1+x2=2m,x1x2=-8t。

5 5.(1)因為點D(1,y0)是拋物線上的點,且|D F|=2,所以解得p=2。故拋物線C的標準方程為y2=4x。

(2)①設A(x1,y1),B(x2,y2)。

②先取特殊情況探索三條直線A R,B R,MR的斜率之間的關系,當A B⊥x軸時,設A(m,y0),B(m,-y0),R(-m,y3),則

下面證明一般情況成立。

設A(x1,y1),B(x2,y2),R(-m,y3),直線A B的斜率不等于0,可設直線A B的方程為x=t y+m。聯立

4t y-4m=0,故y1+y2=4t,y1y2=-4m。

綜上可得,三條直線A R,B R,MR的斜率滿足kAR+kBR=2·kMR。

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),則直線A B的方程為y=k1(x-2)。代入拋物線方程得直線A C,B D過點Q(1,0),同理可得y1y3=y2y4=-2,則

5 7.(1)根據題意,點M到點F(1,0)的距離比它到直線x=-3的距離小2,即點M到點F(1,0)的距離與其到直線x=-1的距離相等,則點M的軌跡為拋物線,且其焦點為F(1,0),準線為x=-1,則其軌跡方程為y2=4x。

(2)①聯立直線x=m y+1與拋物線的方程,可得y2-4m y-4=0,故y1·y2=-4,x1·x2=1。②設D(-1,y2),則kAO-,所以A、O、D 三點共線。

5 8.(1)拋物線E:y2=2p x(p＞0)的準線方程為,由拋物線的定義可知3-,解得p=2,故拋物線E的方程為y2=4x。

(2)由(1)得拋物線E的方程為y2=4x,焦點為F(1,0)。設直線l的方程為x=m y+1,由消去x,得y2-4m y-4=0。

設A,B兩點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2)。

5 9.(1)設動點M(x,y),由拋物線定義可知點M的軌跡E是以N(1,0)為焦點,直線l:x=-1為準線的拋物線,所以軌跡E的方程為y2=4x。

(2)點N在以P A為直徑的圓C上。

因為n=-m2,所以=0,所以NA⊥NP,點N在以P A為直徑的圓C上。