盤點圓錐曲線中的焦點三角形

■甘肅省秦安縣第二中學 張鎖定

由橢圓或者雙曲線上的一點及其兩個焦點構成的三角形稱為焦點三角形。以焦點三角形為背景的試題,是各類考試中一道靚麗的風景線,可以很好地考查同學們的邏輯推理能力和運算求解能力。

題型一 橢圓焦點三角形的面積問題

常用結論:已知F1、F2為橢圓1(a＞b＞0)上的兩個焦點,M是橢圓上的動點,則△M F1F2的面積

x2

+y2

=

a2b2

又因為點P在橢圓上,所以|P F1|+①

由余弦定理可知,|P F1|2+|P F2|2-2|P F1||P F2|c o s6 0°=|F1F2|2=4。 ②

①式兩邊平方得|P F1|2+|P F2|2+2|P F1|·|P F2|=2 0。 ③

評注:解橢圓的焦點三角形的面積問題,通常要用到橢圓的定義,余弦定理。本題還可以直接利用公式S△F1PF2=b2t a n

解析：由橢圓方程x2

+y2

=1,知a=2,43 c=1。由橢圓定義,可得|P F1|+|P F2|=2a=4,且|F1F2|=2。在△P F1F2中,∠P F1F2=9 0°,所以|P F2|2=|P F1|2+|F1F2|2,從而(4-|P F1|)2=|P F1|2+4,則

(2)設F1、F2是橢圓焦點,P是橢圓上的點,且|P F1|∶|P F2|=5∶1,則△F1P F2的面積等于____。

解析：由橢圓方程得a=3,b=2,c=5,|F1F2|=2 5,所以|P F1|+|P F2|=2a=6。又|P F1|∶|P F2|=5∶1,所以|P F1|=5,|P F2|=1。

由余弦定理可得,c o s∠F1P F2=

所以s i n∠F1P F2=1-c o s2∠F1P F2

題型二 焦點三角形的周長問題

常用結論:1.已知F1、F2為橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點,P是橢圓上的動點,則△P F1F2的周長恒為定值2a+2c。

2.已知F1、F2為橢圓的兩個焦點,直線l過焦點F1且與橢圓交于A、B兩點,則△F2A B的周長恒為定值4a。

1A、B兩點,且△A B F2的周長為1 6,那么橢圓C的方程為____。

因此,b2=a2-c2=4。

解析：因為a2=2 5,b2=1 6,所以c2=a2-b2=9,c=3。由橢圓的定義可知,|P F1|+|P F2|+2c=2a+2c=1 6。

所以△P F1F2的周長為1 6。

解析：由雙曲線方程可知,a=4,b=3,c=5。故A(5,0)恰為雙曲線的右焦點,線段P Q過雙曲線的右焦點,則P、Q都在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義知,|P F|-|P A|=2a,|Q F|-|Q A|=2a。

兩式相加得,|P F|+|Q F|-(|P A|+|Q A|=4a。

則|P F|+|Q F|=4a+|P Q|=4×4+1 2=2 8。

對此，教師在平時的教學中可以讓學生在閱讀時養成積累寫作素材的好習慣，調動學生寫作的積極性，讓學生能夠在寫作的過程中大膽進行創新，展示自我，另外，教師也要對學生的寫作進行適當的鼓勵，讓學生逐漸喜歡上寫作，培養其寫作的積極性，增加寫作和閱讀的熱情。

所以△P Q F的周長為|P F|+|Q F|+|P Q|=2 8+1 2=4 0。

題型三 焦點三角形中的幾何性質問題

解析：在△P F1F2中,|F1F2|=2c,

由橢圓定義可得,|P F1|+|P F2|=2a。

評注:解答本題先利用直角三角形的知識,把|P F1|和|P F2|都用c表示,再利用橢圓的定義,最后得出橢圓的離心率。

變式3 (1)已知F1、F2分別為雙曲線(a＞0,b＞0)的左、右焦點,P是雙曲線C右支上的一點,P F1⊥P F2,∠P F2F1=6 0°,則雙曲線C的離心率為____。

解析：在△P F1F2中,|P F1|=|F1F2|

由雙曲線的定義可知,|P F1|-|P F2|

(2)已知F1、F2為橢圓下焦點,點M(3,2)在橢圓上,求∠F1MF2的角平分線l所在的直線方程。

解析：由題意知,F1(0,2),F2(0,-2),M(3,2),所以|MF1|=3,|MF2|=5。

設角平分線l與y軸的交點為A(0,y0),由角平分線性質可得

題型四 焦點三角形中的定值問題

A.定值

B.非定值,但存在最大值

C.非定值,但存在最小值

D.非定值,且不存在最值

圖1

解析：設∠I F1F2=α,∠I F2F1=β。

則kIF1·kIF2=-t a nαt a nβ。延長F1P到點Q,且|P Q|=|P F2|,則∠F2P Q=2α+-(α+β)。

解析：由題意知a2=4,b2=1 2,所以c2=1 6,F1的坐標為(-4,0),F2的坐標為(4,0)。

設內切圓與△P F1F2的三條邊P F1、P F2、F1F2分別相切于F、E、D三點,由已知條件及雙曲線的定義可得:

2a=|P F1|-|P F2|=(|P F|+|F F1|)-(|P E|+|E F2|)=|F F1|-|E F2|=|F1D|-|F2D|=(xD+c)-(c-xD)=2xD,所以xD=a=2,xM=xI=xD=2。

設P點坐標為(x0,y0),由M為△P F1F2

把x0=6代入雙曲線方程解得y0=4 6,所以P點坐標為(6,4 6)。

由兩點間距離公式得|P F1|=1 4,|P F2|=1 0。

設△P F1F2的內切圓半徑為r,則1 6r。

另一方面,S△PF1F2

圖2

(責任編輯 徐利杰)