拋物線中的“距離”題解法賞析

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

拋物線是高考數學的必考點,涉及拋物線中“距離”的題目在歷年高考中常常出現。同學們處理這類問題時,通常要用到拋物線的定義、兩點間的距離公式、直線方程、韋達定理等知識,運算量較大,解題過程復雜。如果根據題目的已知條件和圖形的結構特點,靈活運用平面幾何知識以及某些特殊的“點”與“線”之間的關系,那么可以簡化解題過程,達到高效解題的效果。

1.利用平面幾何知識

圖1

點評:此類題目的一般解法是:先設出直線AB的方程和A、B兩點的坐標,然后利用韋達定理求解,這樣做比較麻煩,而且在解題的過程中容易出錯。相反,利用弦A B以及A、B、F、M點在準線上的射影所構成的特殊圖形,采用平面幾何中梯形的中位線定理進行處理,卻十分簡捷,同時還滲透了方程思想。

2.利用焦半徑公式

點評:“焦半徑公式”是拋物線的一個重要工具。本題如果設直線A B的方程再求解,那么解題中的技巧性要強一些,但以“焦半徑公式”開路,很快得到了方程①,從而使兩點間的距離公式②的轉化方向明確,思路清晰,為最后得到x1搭建了“橋”。

圖2

3.利用對稱性

A.2 B.4 C.6 D.8

解析：設拋物線C的方程為y2=2p x(p＞0),則焦點為設圓的方程為x2+y2=r2,如圖3,則由拋物線、準線、圓均關于x軸對稱可知,A、B兩點關于x軸對稱,D、E兩點關于x軸對稱,因此,由已知條件可得,因為A、B、D、,整理可得解得p=4,即焦點到準線的距離為p=4,選B。

點評:題中拋物線和圓的方程都不知道,如果根據“已知|A B|=4 2,|D E|=2 5”聯想到兩點間的距離公式,將兩者聯立方程求出A、B、D、E的坐標,那么運算過程非常復雜。因此,根據對稱性,找出對稱點,是順利求解此題的關鍵。

圖3

4.利用直線的傾斜角

A.1 6 B.1 4 C.1 2 D.1 0

12斜角為若設A、D兩點在x軸上方,B、E兩點在x軸下方,如圖4,則A點的橫坐標為xA=1+|A F|c o sα,B點的橫坐標為xB=1-|B F|c o sα,D點的橫坐標為xD=1橫坐標為xE=1+|E F|c o s|E F|·s i nα。于是由|A F|=xA+1,|B F|=xB+1,|D F|=xD+1,|E F|=xE+1,得|A F|=2+|A F|c o sα,|B F|=2-|B F|c o sα,|D F|=2-|D F|s i nα,|E F|=2+|E F|s i nα,整理得所以,等號當且僅當時成立,所以|A B|+|D E|的最小值為1 6,故選A。

點評:如果采用直線方程或者斜率求解,那么不僅復雜,而且容易出錯。根據題設條件及圖形結構,引入直線的傾斜角后,則拋物線上的四個點A、B、D、E的橫坐標就清晰地顯露出來,再結合“焦半徑公式”,輕輕松松地就將四條線段|A F|,|B F|,|D F|和|E F|統一用直線的傾斜角α表示了出來,從而使|A B|+|D E|的最小值變得直觀了。

圖4

練一練：

1.(2 0 1 7年浙江卷)若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為1 0,則M到y軸的距離是____。

2.(2 0 1 7年全國Ⅱ卷)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N,若M為FN的中點,則|FN|=____。

答案：1.9 2.6

(責任編輯 徐利杰)