淺談雙曲線的漸近線妙用

■甘肅省會寧縣第五中學 王合清

我們知道,漸近線是雙曲線特有的,它經常出現在高考題中。那么雙曲線的漸近線能幫助我們解決哪些問題呢?下面舉例說明。

一、利用漸近線求雙曲線標準方程

解析：因為點(2,3)在雙曲線1(a＞0,b＞0)的一條漸近線上,所以該雙曲線的漸近線方程為于是該雙曲線方程可設為由雙曲線的一個焦點為(-7,0)知于是由a2+b2=c2得,4λ+3λ=所以雙曲線方程為1,故選D。

二、利用漸近線求雙曲線的離心率

點評:不同的雙曲線,可能對應的漸近線相同,應分類討論。

三、利用漸近線求雙曲線方程中的參數

點評:本題重點考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎題。求漸近線方程的簡單方法就是把標準方程中的“1”改“0”,利用已知的漸近線方程,求出參數a的值。

四、利用漸近線求雙曲線上的點到直線的最小距離

解析：設P(x,y),x≥1。因為直線x-y+1=0平行于漸近線x-y=0,所以點P到直線x-y+1=0的距離恒大于直線x-y+1=0與漸近線x-y=0之間的距離。因此c的最大值為直線x-y+1=0與漸近線x-y=0之間的距離,其距離為的最大值為。

點評:漸近線是雙曲線特有的,在解決有關雙曲線問題時,需結合漸近線,體現了數形結合思想。

(責任編輯 徐利杰)