一道解析幾何面積定值問題的思考

■江西省豐城中學 吳愛龍 熊華芳

題目 已知橢圓x2+2y2=1。如圖1,過原點的兩條直線l1和l2,分別與橢圓交于點A、B和C、D,記△A O C的面積為S,l1與l2的斜率之積為m,求m的值,使得無論l1和l2如何變動,面積S保持不變。

1.原解呈現

設l1:y=k x,則l2:設A(x,y),11C(x2,y2)。

點評:本題考查了橢圓中的相關三角形面積問題。當過原點的兩條直線繞原點任意轉動時,若其斜率之積恰為-,則Δ A O C的面積必為定值;否則隨著直線位置的改變,三角形的面積也會隨之改變,這便屬最值問題了。定值與最值是面積問題之中最為典型的兩類題型,它們刻畫了“動”與“靜”的辯證關系,反映在數學中就是“特殊”與“一般”的關系問題。在求解過程中,我們用到了三角形的坐標形式的面積公式,該公式在江西、上海等試卷中多次考查,它是高等數學行列式內容中的三角形面積公式的特例,請同學們務必重視。

圖1

2.題設變動

設l1和l2的斜率分別為k1和k2,則k1由題目結論知倘若將其改進為x1x2+2y1y2=0(這是一個驚人之舉,從下文中可以看出),則得下面變式。

變式1 已知橢圓x2+2y2=1。過原點的兩條直線l1和l2分別與橢圓交于A、B和C、D。設△A O C的面積為S,A(x1,y1),C(x2,y2)。若x1x2+2y1y2=0,則無論l1

和l2如何變動,面積S恒為定值

證明：因為點A、C在橢圓上,所以x21+兩式相乘并展開得

3.類比遷移

著名數學家、教育學家波利亞在《怎樣解題》一書中指出:“好題目和某種蘑菇有點相似之處:它們都成串生長,找到一個以后,我們應該看看,很有可能在很近的地方又能找到更多的。”因此當我們解完一道題以后,要不斷領悟、反思,進行橫向類比,從而達到觸類旁通的效果。上述問題能類比到雙曲線中去嗎?回答是肯定的!

變式2 已知雙曲線x2-2y2=1。過原點的兩條直線l1和l2分別與雙曲線交于A、B和C、D。設△A O C的面積為S,A(x1,y1),C(x2,y2)。若x1x2-,則無論l1和l2如何變動,面積S恒為定值

點評:一般地,在橢圓中有的結論或性質,在雙曲線中也常有。但上述題目卻并不容易簡單地進行類比。這里筆者之所以能將橢圓中的結論成功地推廣到雙曲線中,主要原因在于巧妙地將原題設條件“改進為“x1x2+2y1y2=0”,再進一步將后一等式右端中的數“0”放寬至一般數值,方可由其對偶性類比出“x1x2-2y1y2=2”,從而順利地得出雙曲線中的相應類題了。至于為什么將數值“0”與“2”對應,主要是為了湊出同一面積定值

4.橫縱拓展

經筆者思考,從橫、縱兩個視角出發,進行深入探究,得到了其一般形式,我們有:

結論1 已知橢圓(圓)a x2+b y2=1(a＞0,b＞0)。過原點的兩條直線l1和l2分別與橢圓(圓)交于A、B和C、D。設△A O C的面積為S,A(x1,y1),C(x2,y2)。若a x1x2+b y1y2=n(n為定值,且|n|＜1),則無論l1和l2如何變動,面積定值。

證明：因為A,C在橢圓(圓)上,所以:

在結論1中,取a=1,b=2,n=0,則

x1x2+2y1y2=0。若x1x2≠0,則即l1與l2的斜率之積積S為定值此即原題答案。

結論2 已知雙曲線a x2-b y2=1(a＞0,b＞0)。過原點的兩條直線l1和l2分別與雙曲線交于A、B和C、D。設△A O C的面積為S,A(x1,y1),C(x2,y2)。若a x1x2-b y1y2=n(n為定值,且|n|＞1),則無論l1和l2如何變動,面積定值。

證法與上類似,過程留給同學們自行完成。

在拋物線中雖然不能找到如此對稱、優美的結論,但經探究,也可得到一個較為類似的結論。

結論3 已知拋物線y2=2p x(p＞0)。過原點的兩條直線l1和l2分別與拋物線交于A、B。設△A O B面積為S,A(x1,y1),B(x2,y2)。若x1值,且n＞0),則無論l1和l2如何變動,面積

對一個橢圓問題可演變出一系列類似問題,正如波利亞所說在所采“蘑菇”旁邊應努力去尋找別的蘑菇。這啟示我們,在平時的解題或探究過程中,應自覺進行一題多解或一題多變探究,這樣做既能深刻理解問題,又能避免題海戰術,從而高效地學習。切記:解題后的反思與探究比解題過程更為重要哦!

(責任編輯 趙 平)