尋找身邊的拋物線

■河南省潢川高級中學高三(2 1)班 劉紫陽

生活中充滿了數學,數學就在我們周圍。在足球比賽時,猛一腳射門,足球沿著一條美麗的弧線,球進了,那將是激動人心的事。這其實就是拋物線。只要我們細心觀察生活,就會發現生活中有很多與拋物線有聯系的事物,甚至導彈軌跡也與拋物線有一定的聯系,下面我們一起來賞析幾例。

一、隧道中的拋物線

某隧道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成,尺寸如圖1所示,某卡車空車時能通過此隧道,現載一集裝箱,箱寬2m,車與箱共高4.5m,問此車能否通過此隧道,說明理由。

圖1

解析：建立如圖2所示的平面直角坐標系,則B(-3,-3),A(3,-3)。

設拋物線方程為x2=-2p y(p＞0),將B點的坐標代入,得9=-2p·(-3),故線方程為x2=-3y(-3≤y≤0)。

圖2

因為車與箱共高4.5m,所以集裝箱上表面距拋物線形隧道拱頂0.5m。

設拋物線上點D的坐標為(x0,-0.5),D′的坐標為(-x0,-0.5),則x20=1.5,解得x0=

二、噴泉中的拋物線

如圖3所示,水池中央有一噴泉,水管的長|O′P|=1m,水從噴頭P噴出后呈拋物線的形狀,先向上至最高點后落下,若最高點距水面2m,點P距拋物線的對稱軸1m,則水池的直徑至少應設計為多少?(精確到個位)。

圖3

解析：如圖4所示,建立平面直角坐標系。

設拋物線的方程為x2=-2p y(p＞0)。

圖4

設B(x,-2),則x=2,|O′B|=1+2。

故水池的直徑為2(1+2)≈5(m),即水池的直徑至少應設計為5m。

三、酒杯里的拋物線

圖5

解析：在酒杯軸截面內,玻璃球成了位于拋物線內的一個圓,以拋物線的頂點為原點,以拋物線的對稱軸為y軸,建立直角坐標系,如圖5所示。

則拋物線方程可設為x2=2p y(p＞0),依題意得點(2 1 0,2 0)在拋物線上,故4 0=2p×2 0,p=1,拋物線的方程為x2=2y(0≤y≤2 0)。

若玻璃球觸及杯底,圓與x軸切于原點,這時圓心坐標為A(0,r),在拋物線上任取一點P(x,y),則|A P|2=x2+(y-r)2=y2+2(1-r)y+r2=[y+(1-r)]2+2r-1≥r2。

則1-r≥0,0＜r≤1。

故當玻璃球的半徑r取值范圍為(0,1]時,才能使玻璃球觸及杯底。

從以上幾例可以看出,求解生活中的拋物線問題的關鍵,是合理建立直角坐標系,將幾何問題轉化為代數問題來解決,體現了解析幾何的“特殊功能”,也體現了數形結合的“神奇力量”。

(責任編輯 徐利杰)