對求雙曲線的離心率問題的探究

■河北省唐山市樂亭縣第一中學 史笑菲

雙曲線的離心率問題,在數學高考中“出鏡率”極高,是一類值得我們關注的重點題型,下面以一道題為引例,對其進行變式探究,以達到舉一反三的功效。

引例 已知雙曲線的漸近線方程是y=±4x,求該雙曲線的離心率。

變式1 雙曲線虛軸的一個端點為M,兩個焦點為F1、F2,∠F1MF2=1 2 0°,則雙曲線的離心率e的值為____。

分析：從△MF1F2的形狀中找出a,b,c之間的關系。解：設雙曲線方程為b＞0)。

因為△MF1F2為等腰三角形,∠F1MF2=1 2 0°,所以∠MF1F2=3 0°,t a n

變式2 設雙曲線的半焦距為c,直線l過(a,0)、(0,b)兩點,且原點到直線l的距離為求雙曲線的離心率。

分析：由截距式得直線l的方程,再由雙曲線中a、b、c的關系及原點到直線l的距離建立等式,從而解

解：由l過兩點(a,0),(0,b),得l的方程為b x+a y-a b=0。

變式3 已知雙曲線＞0)的左、右焦點分別為F1、F2,P是雙曲線上一點,且P F1⊥P F2,P F1·P F2=4a b,則雙曲線的離心率是____。

分析：利用雙曲線定義和勾股定理,找出a與c的關系式。

解：由雙曲線定義得,|P F1-P F2|=2a。①

由P F1⊥P F2得,

因為P F1·P F2=4a b,故有4c2-8a b=4a2,即4(c2-a2)=8a b,所以4b2=8a b。

因此,b=2a,b2=4a2,即c2-a2=4a2,故c2=5a2,即

方法歸納：求雙曲線離心率的常見方法:一是依據條件求出a,c,再計算據條件建立參數a,b,c的關系式,如果含有b,一種方法是消去b轉化成離心率e的方程求解,另一種方法是消去c轉化成含求離心率。

(責任編輯 趙 平)