拋物線中的高考題

■河北省張家口市第二中學(xué) 王 瀟

由于拋物線方程的特殊性:一個一次項(xiàng),一個二次項(xiàng),拋物線問題越來越受到命題專家的青睞,下面讓我們一起來梳理吧。

重點(diǎn)題型一：拋物線的定義與平面幾何的完美結(jié)合

圖1

試題分析：由拋物線的準(zhǔn)線為x=-1,所以|B F|=xB+1,|A F|=xA+1,設(shè)△A C F中A C邊上的高為h,則有

圖2

試題分析：根據(jù)已知作圖分析,如圖2。

由拋物線性質(zhì)知|B F|=|BM|,而已知|B C|=2|B F|,則|B C|=2|BM|,∠C BM=6 0°。又因?yàn)橹本€過焦點(diǎn),聯(lián)立解方程組可得,則此拋物線的方程為y2=9x或y2=3x。

梳理總結(jié)：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ),它能將兩種距離進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,又能與距離聯(lián)系起來,那么應(yīng)考慮應(yīng)用拋物線的定義。如果題目再與平面幾何綜合起來,就有一定難度了,需要我們熟練掌握初中的平面幾何知識,才可以順利解決這類有一定難度的題目。

重點(diǎn)題型二：拋物線定義與最值的完美結(jié)合

試題分析：如圖3直線x=-1為拋物線的準(zhǔn)線,點(diǎn)P到直線x=-1的距離等于到焦點(diǎn)F(1,0)的距離,由三角形兩邊之差小于第三邊知|P F|-|P Q|≤|Q F|,當(dāng)P,Q,F三點(diǎn)共線時,P F與P Q的距離之差最

圖3

圖4

梳理總結(jié)：利用拋物線的定義可實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化。我們常常利用“兩點(diǎn)之間線段最短”,“三角形兩邊之和大于第三邊”,“三角形兩邊之差小于第三邊”等,將問題轉(zhuǎn)化。

重點(diǎn)題型三：拋物線與定值的巧妙結(jié)合

圖5

試題分析：由題知直線AM,BM的斜率存在且不為0,設(shè)直線MA的方程為y-3

因?yàn)橹本€MA,MB的斜率互為相反數(shù),所以直線M B的方程為

試題分析：(1)由題意知,A(1,1),B(4,-2),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP),切線l1:y-1=k(x-1),聯(lián)立物線與直線l1相切,解得。聯(lián)立l,1l2的方程,解得x,故點(diǎn)P

梳理總結(jié)：解析幾何中的定值問題是指某些幾何量的大小或代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān),不依參數(shù)的變化而變化,始終是一個確定的值。而在拋物線中,特殊的就是點(diǎn)的設(shè)法,根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),如上例中設(shè)點(diǎn)M(,y0),再根據(jù)拋物線方程的特殊性:一個一次項(xiàng),一個二次項(xiàng),從而可求出定值。

重點(diǎn)題型四：拋物線與取值范圍問題的巧妙結(jié)合

試題分析：F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題設(shè)y2)=λ(1-x1,-y1)。

聯(lián)立①、③解得x2=λ,依題意有λ＞0。

所以B(λ,2λ),或B(λ,-2λ),又F(1,0),得直線l的方程為:

(λ-1)y=2 λ(x-1),或(λ-1)y=-2λ(x-1)。

梳理總結(jié)：對于范圍問題,一般可以利用數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解。其本質(zhì)還是由于拋物線方程的特殊性,如例9中可得x2=λ,從而將所求問題轉(zhuǎn)化。這種現(xiàn)象,在橢圓或者雙曲線中是不可能出現(xiàn)的,點(diǎn)的坐標(biāo)都是很復(fù)雜的,所以求解橢圓或雙曲線問題時最常用的方法是設(shè)而不求,整體代入。而拋物線中則可以把點(diǎn)的坐標(biāo)簡潔表示。

拋物線還有很多常見而特殊的題型,例如直線與拋物線的位置關(guān)系,拋物線的定點(diǎn)問題等。當(dāng)然,對于拋物線問題我們也不能完全掉以輕心,因?yàn)閽佄锞€也有很復(fù)雜的題目喲!

(責(zé)任編輯 趙 平)