初中數學課本例題的“二次開發”

涂傳釗

[摘要]課本例題是中考命題的源泉與方向。對課本例題，從多角度深入挖掘其內涵，實現其本身應有的教育功能最大化，具有實際意義。

[關鍵詞]課本例題；二次開發；初中數學

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2017）23-0001-02

數學課本中的例題是教育專家經過仔細推敲、打磨的結晶，具有很強的示范性，是對課本知識概念的強化與延伸，是體現數學思想與方法的重要載體。課本例題的典型性與權威性不容忽視，它深受命題者的青睞，是中考命題的源泉與方向。因此，鉆研教材，立足課本例題，多角度深入挖掘其豐富內涵，實現其本身應有的教育功能最大化，顯得特別有意義。那么，如何實現課本例題的“活”用，讓例題教學的實效性增強呢？筆者從二十多年的教學經歷出發，談談自己對課本例題的“二次開發”經驗，以期能夠與同仁產生共鳴，起拋磚引玉作用。

一、“二次開發”課本例題的原則

筆者認為，要恰當地處理課本例題，發揮其應有的教學功能，提高教學效率，必須遵循一定的原則。

（1）目標性原則。每堂課都有教學目標，“開發”課本例題應該圍繞教學目標進行，不能偏離它。

（2）科學性原則。課本例題的選擇有高度的科學性與邏輯性，教師對例題的“二次開發”也不能偏離學生學習的實際，偏離例題的科學性與邏輯性。

（3）主體性原則。課本例題的“二次開發”應盡可能地體現學生的主體地位，讓學生參與到具體內容的學習中，實現學生學會學習，真正體驗到例題“二次開發”的樂趣。

二、“二次開發”課本例題的途徑

在原有例題教學的基礎上，適度對某些例題進行合理“開發”，能夠重塑學生的知識結構，讓學生的數學解題達到舉一反三、觸類旁通的效果。以下，筆者從一題多解、變式教學、捕捉生成三個方面談談自己“二次開發”課本例題的做法。

1.深化一題多解，拓展思維能力

一題多解是數學教學中拓展學生思維空間的重要途徑。一題多解能夠引導學生從多個角度去分析問題，從而激活與生成解題的思路，把握各種解法之間的區別與聯系，進而得到最優的解題方法。

[案例1]（北師大版九年級上冊）如圖1，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是∠CAB的平分線。求證：AB=AC+CD。

課堂上，教師可以先讓學生對例題進行思考解答，然后逐步引導學生得到三種證明方法。

證法1：如圖1，過點D作DE上AB于E。由∠CAD=∠EAD，∠ACD=∠AED=90°，AD=AD，得Rt△ACD≌Rt△AED（AAS），故AC=AE，CD=DE。由DE⊥AB，∠ABC=45°，得DE=BE，則CD=DE=BE，所以AB=AE+BE=AC+CD。

證法2：如圖2，延長AC到E，使得CE=CD，連接DE。由∠AED=∠ABD=45°，∠EAD=∠BAD，AD=AD，得△AED≌△ABD（AAS），所以AB=AE=AC+CE=AC+CD。

證法3：如圖3，延長BC至E，使得CE=CA，連接AE，則∠E=∠B=45°，故AE=AB。由∠EAD=∠EDA=67.5°，故AE=ED=EC+CD=AC+CD，所以AB=AE=AC+CD。

一題多解是解題教學中的“美麗的風景線”。數學教學中，教師如何引領學生欣賞“美麗風景”顯得尤為重要。要想讓學生能夠欣賞到如此“美麗風景”，教師需充分備課，將一題多解有意識地滲透到例題教學中，讓學生在探究中學習各種解題方法，形成有效的解題思路，拓展思維空間。

2.開展變式教學，培養探究能力

習題教學中，教師應避免要求學生做大量重復的習題，應該在拓寬學生解題思路與提升學生學習能力上多下功夫。而變式教學恰好是滿足這些功能的訓練手段。變式教學是教師有目的地對例題進行深加工，通過變化例題的條件、結論、背景等，讓學生掌握數學問題的本質的一種教學模式。從歷年的中考試題來看，許多試題來源于課本例題的模型。因此，日常教學中，教師要注重課本例習題的加工，對例習題進行變式探究，讓學生掌握所學知識的內涵與外延，培養他們的探究能力。

[案例2]（北師大版九年級上冊）如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是∠CAB的平分線。求證：AB=AC+CD。

在教學過程中，該課本例題不僅能夠實現一題多解的教學功能，而且也能對其進行變式教學，最大限度地發揮例題的教學功能。

變式1：如圖4，在AABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分線，且AB=AC+CD。求證：AC=BC。

教師啟發學生將條件轉化為結論，結論轉化為條件，形成逆命題，讓學生逆向思考。

變式2：如圖5，在正方形ABCD中，對角線交于O，AE為∠BAC的平分線，且交BC于E。求證：AB+BE=2OD。

引導學生將例題放置于復雜圖像中，培養他們的觀察能力，使其尋找課本例題模型去解決問題。

變式3：如圖6，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC外角∠CAF的平分線，請猜想線段AB、AC、CD之間的關系，并證明。

引導學生對原命題的條件進行改變，將內角平分線改為外角平分線，培養學生的類比思維及合情推理能力。

教學過程中，教師應引導學生進行探究性學習，讓學生在“變”的現象中尋找“不變”的數學本質，讓變式教學成為學生再發現、再創造的途徑，展示數學獨特的魅力，體會學習數學的樂趣。

3.善待意外，捕捉生成

數學課堂教學產生的一些“意外資源”是正常現象。課堂教學中，教師要適時提供平臺，傾聽學生的解題新觀點，善待學生給出的一些“意外”的解答。面對“意外”生成的值得探究的解答方法，教師需沉著應對，調整原來的教學安排，為學生的“意外生成”提供生長空間。endprint

[案例3]（人教版七年級下冊）如圖7所示，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？

分析：由已知得∠CAD=50°，∠BAD=80°，/CBE=40°。

教師通過PPT展示例題，并讓學生思考，然后安排一位學生講解。

生1：∠CAB=∠BAD-∠CAD=30°，由AD∥BE，得∠ABE=180°-∠BAD=100°，故∠CBA=∠ABE-∠CBE=60°。根據三角形內角和為180°，得∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=90°。

教師走動過程中觀察到大多數學生都是用生1這種方法求解，與課本例題解答思路一致。突然，生2舉手發言說還有其他方法。教師感到意外，請生2發言。

生2：我覺得題目中條件多了一個，而且不用使用“三角形內角和”性質，用平行線的性質就夠了。

如圖8，過點C作CF∥BE，又AD∥BE，得CF∥AD，故∠FCA=∠CAD=50°，∠FCB=∠CBE=40°，所以∠ACB=∠FCA+∠FCB=90°。

聽完生2的解題過程，班級學生一片嘩然，轉而恍然大悟并集體鼓掌，他們驚訝這種方法少用了一個已知條件∠BAD=80°，而且十分簡便。在教師的鼓勵與添加輔助線思想的啟發下，學生又開始尋找新的方法。

生3：如圖9，延長AC交BE于點F，由AD∥BE，得∠CFB=∠CAD=50°，故∠BCF=180°-∠CBF-∠CFB=90°，所以∠ACB=180°-∠BCF=90°。

聽完解答，學生情不自禁地鼓掌。

師：數學解題魅力無窮，大家今天的表現實在是太好了。老師相信，只要肯思考，數學解題一定會精彩紛呈的。

課堂“意外”生成的動態資源是不可多得的寶貴財富，需要教師發現、捕捉、研究。面對無法預約的生成，教師必須從容應對，在“意外”中尋找有價值的資源，讓生成綻放光彩。

三、“二次開發”課本例題的反思

在課程改革的浪潮中，許多學校及教師開始注重課本例題的“二次開發”。但是，許多教師在沒有領會教材設計意圖與完全掌握概念知識的基礎上，隨意“開發”，不僅偏離教學正常軌道，無法實現教學目標，而且使得學生對概念知識更加的“迷糊”。筆者在用好教材，實現課本例題的有效“開發”方面有以下幾點反思。

第一，許多教師在課本例題的“二次開發”中，盲目地對課本例題進行補充、變式、加深，忽略了學生的主體地位，沒有調動學生參與到課本例題的“開發”活動中。教師應促進學生參與到課本例題的“二次開發”活動中，讓學生體驗學習數學的樂趣。

第二，為了新課改的需要，實現課本例題的合理“開發”，教師之間需要多多交流與合作，積極參加各種類型的課程培訓，學習教學新理念、解題新方法。同時，教師應該征訂一些優秀期刊，學習與吸取他人“二次開發”教材的成功案例。

第三，日常教學中，教師應積極思考教材的設計意圖與例題的表現形式，從課本例題的數字、背景、題設與結論、解題方法與思路、拓展與衍生等方面進行“二次開發”，挖掘出例題背后蘊含的知識，從而創造性地使用教材和處理教材。

（責任編輯 黃桂堅）endprint