反例教學在高中數(shù)學課堂中的應(yīng)用及其作用

何麗珍

摘 要：本文闡述高中數(shù)學中反例的作用及其應(yīng)用，同時也收集了一些與教材相關(guān)的重要反例，它使我們體會到用反例來解決一些數(shù)學問題給人的愉悅，也讓我們認識到反例的應(yīng)用會使教學更加的生動。但是當前，數(shù)學教學過程中，教師對教學反例的認識不夠，教材也沒有給予足夠的重視。雖然證明在數(shù)學學習中有重要的作用，但是反例作為問題的另一個方面，也應(yīng)清楚在數(shù)學學習中的重要性。

關(guān)鍵詞：反例;高中數(shù)學;應(yīng)用;作用

眾所周知，要判斷一個命題的正確性必須經(jīng)過嚴密的推證，而要否定一個命題，卻要舉出一個與結(jié)論相矛盾的例子即可。這種與命題相矛盾的例子成為反例。

舉反例和證明同時是重要的數(shù)學思維方式，它們是一個問題的兩個側(cè)面。美國數(shù)學家B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H奧姆斯特德指出：“冒著過于簡單化的風險，我們可以說數(shù)學由兩大類——證明與反例組成，而數(shù)學發(fā)現(xiàn)也是朝著兩個主要的目標——提出證明與構(gòu)造反例?！彼晕覀冋f數(shù)學中的反例，既是簡明有力的否定，又是極有說服力的肯定，反例的作用不僅用以否定命題而且也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學教學真理的一種重要的手段，它有助于發(fā)現(xiàn)問題，活躍思維，避免常犯易犯的錯誤，在數(shù)學學習與研究中起著不可估量的作用。

反例在高中數(shù)學的應(yīng)用及其作用

一、利用反例加深對數(shù)學概念的理解

學習數(shù)學概念，不僅要重視正面的例子，加以深刻闡明，還要運用合適的反例來領(lǐng)會概念的含義。學生在學習某些數(shù)學概念時，常常不能抓住數(shù)學概念的本質(zhì)特性，不能全面的理解數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延，結(jié)果造成理解上的混淆，而反例的十分簡明和具有說明力的否定，往往能起到正面例子起不到的作用，正確地使用反例，可以活躍學生的思維，加深對數(shù)學概念的理解。

如：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

一個函數(shù)y=f（x）是奇（偶）函數(shù)，必須具備2個條件：（1）定義域關(guān)于原點對稱;（2）f（-x）=-f（x）[f（-x）=f（x）]學生在做題時，往往忽略第一個條件。

例1：判斷函數(shù)f（x）=（1-x）■的奇偶性。

誤解：因為判斷函數(shù)f（-x）=（1-x）■=■

而f（x）=（1-x）■=■

∴函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)

剖析：錯誤在于沒有注意到f（x）定義域為半開區(qū)間[-1，1），不關(guān)于原點對稱。

正確解法：因為f（x）定義域為半開區(qū)間[-1，1），不關(guān)于原點對稱。

∴f（x）是非奇非偶函數(shù)

在高中數(shù)學的學習中，通常會碰到判斷函數(shù)奇偶性的問題，久而久之，學生的頭腦中就忽略“定義域關(guān)于原點對稱”這個條件，這一反例糾正了學生對這一概念的錯誤理解，擴大了知識面。

二、利用反例直接解答問題

對于某些結(jié)論否定型問題，從正面證明它不成立一般不容易，而舉一個反例往往能迅速的解決問題。

如：關(guān)于極限方面的應(yīng)用

例2：若

解法：反之不成立，若直接說明不好入手，若舉反例來說明，學生們記憶就深刻。例如an=■+n，bn=■-n，顯然 ? ? ? 存在，但 ? 與 ? 均不存在。

“對則證明，否則舉反例”，對于這類問題，盲目推導證明可能會陷入窘境，而恰當?shù)姆蠢茌p松地解決問題。

三、利用反例澄清模糊認識

構(gòu)造反例是推翻命題的一種重要方法，也是發(fā)現(xiàn)錯誤，修正命題與解法，激發(fā)人們思維的一種好方法。為了澄清學習數(shù)學中的模糊認識，常常需要從正反兩個方面進行探索。

如：關(guān)于數(shù)列方面的應(yīng)用

例3：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn=an+bn，問{cn}是否為等比數(shù)列？

分析：這是一道探索性的問題，我們可以先假定{cn}是等比數(shù)列，并設(shè){an}，{bn}的公比分別為p，q（p≠q），在此假設(shè)下，c1，c2，c3也應(yīng)是等比數(shù)列，于是c22=c1·c3

即（a1p+b1q）2=（a1+b1）（a1p2+b1q2）

整理得（p-q）2=0，這與p≠q矛盾，故{cn}不是等比數(shù)列。

顯然，上述的反例c1，c2，c3否定了假設(shè)，從而較快地解決了問題。

參考文獻：

[1]張惠民.例談反例構(gòu)建.[J].北京：人民教育出版社.中學數(shù)學.2012年9月

[2]徐斌艷.數(shù)學課程與教學論.[M].杭州：浙江教育出版社，2013.