培養問題意識 提升核心素養
——以“認識無理數”（第1課時）為例

浙江師范大學數學與計算機科學學院 高其琛

最近參加某教研活動，聆聽了“2.1認識無理數”一課，課中通過學生動手操作，交流展示，由此發現并提出問題，分析和解決問題，滲透數學思想方法，落實核心素養，起到很好的教學效果。

該節內容選自義務教育教科書（北師大版）八年級上冊第二章《實數》起始課“認識無理數”（第1課時）。這是七年級學生在學習了有理數之后數的又一次擴展。教師首先讓學生用兩個小正方形剪拼成一個大正方形。然后引導學生提出問題，讓學生感受到現實生活中存在著不是有理數的數,“有理數不夠用”了，緊接著通過“做一做”和隨堂練習再次進入無理數的實際背景，體會現實生活中大量存在著無理數，感受學習無理數的必要性，激發起求知欲望和興趣。

一、片段回眸

教師首先將事先準備的小正方形分發給學生，每人2個。讓學生通過剪一剪、拼一拼，設法得到一個大正方形。

學生的積極性立刻調動了起來，剪拼方法多種多樣，然后讓學生把自己的拼的作品展示在黑板上（如圖是部分學生的作品）。

師：同學們，如果小正方形的邊長為1，那么面對自己拼出來這個大正方形，你能提出哪些數學問題？

生1：大正方形的面積是多少？

生2：大正方形的邊長是多少？周長是多少？

生3：大正方形的對角線有多長……

師：（追問）你能解決幾個？

生1：面積等于2，對角線長也是2，邊長……（學生初步感受數不夠用了）

師：能否用字母來表示大正方形的邊長？（教師相機引導，自然引入對邊長的研究上）

生4：可以設大正方形的邊長為a。

師：（趁勢出示P21問題1）“如果設大正方形的邊長為a，那么a滿足什么條件？”

思考片刻，就有學生舉手發言。

生4：滿足a2=2。

師：為什么？

生5：大正方形邊長為a，面積就為a2，而大正方形是由兩個邊長為1的小正方形拼成的，因此面積為2，所以a2=2。

師：好，通過等積變換得到，有沒有不同想法的？

這時，教室里熱鬧起來，舉手的學生也很多。

生6：大正方形邊長a其實就是小正方形的對角線的長，根據勾股定理可得a2=2。

生7：因為大正方形的對角線的長為2，根據勾股定理可得a2+a2=22，也就是2a2=4，所以a2=2。

師：非常好。用勾股定理，結合方程思想。

師：那么，a是多少呢？，是什么數？我們來分類探討，首先a有可能是整數嗎？

生9：我認為不可能是整數，因為12=1，22=4，32=9……越來越大，所以a不可能是整數的。

生10：因為a就是小正方形的對角線長，所以也是邊長為1的等腰直角三角形的斜邊的長，斜邊大于直角邊，因此a＞1；而根據三角形三邊關系，a＜2，所以1＜a＜2，a不可能是整數。

師：回答得非常好，很直觀就得到了a不可能是整數。

師：請同學們想一想，并互相討論討論：“a可能是分數嗎？”

學生討論，交流。通過激烈討論，共同探討，最后經歸納、猜測得出這樣的結論：一個最簡分數的平方仍是最簡分數。而a2=2，所以a不可能是分數。

師生歸納總結：在等式a2=2中，a既不是整數，也不是分數，所以a不是有理數。體驗生活中確實存在不同于有理數的數。

二、教學思考

教師在教學設計時，抓住了八年級學生的心理特點、興趣愛好和認知結構、認知特征，靈活處理教材，提出了一個開放性的問題，“對自己拼出來大正方形，你能提出哪些數學問題？”由于學生對自己的作品較感興趣，馬上就有同學提出了許多問題，自然而然地將學生思維引向“設大正方形的邊長為a，a滿足什么條件？”聽后思考，形成以下認識：

1.突出了“學為中心”，還原了知識的形成過程

教學中改變了由教師直接提出問題，學生被動思考的傳統做法，以學生的學為中心，突出了學生的主體地位。同時，創造性地開發、利用教材，引導學生經歷“動手操作，提出并發現問題，分析問題，解決問題”的過程，帶領學生通過“仿真”的發現，模擬數學家的思維活動，這樣 “重構式” 探究方式，使學生經歷知識的產生過程，培養了探究能力，并體驗探究學習的快樂。

2.增強學生的問題意識，誘發學生的創新精神

新課程標準既關注問題的解決，又關注問題的提出和創新精神的培養，創新源于問題，問題是創新的基礎和源泉。學生如果不會提出問題，只會“來料加工”，那就無從創新。教學過程就是不斷提出問題、解決問題的過程，也是學生進行創新的過程。教學中，教師讓學生從現實活動中提出問題并發現新問題，不僅調動了他們的積極性，更培養了他們的問題意識和創新精神。

3.提升了學生的課堂關注點，強化學生體驗過程

學起于思，思起于疑。學生從一開始的“又要產生新的數？”到對大正方形的邊長是多少產生了懷疑時的“數好像又不夠用了”，直到通過探究感受到“有理數確實不夠用了”，最后感受“這種數在現實生活中大量存在”的過程，逐步展開，層層深入，強化了學生的體驗，提升了學生的課堂關注點，“這種數到底是什么數？”為無理數的引入做了很好的鋪墊。

4.滲透數學思想方法，提升數學核心素養

縱觀本節課，無不滲透著數形結合、分類討論、化歸、方程等數學思想方法，特別是對于a2=2，生10認為a不可能是整數的理由是：“因為a就是小正方形的對角線長，所以也就是邊長為1的等腰直角三角形的斜邊的長，斜邊大于直角邊，因此a＞1；而根據三角形三邊關系，a＜2，所以1＜a＜2，所以a不可能是整數。”體現了幾何直觀。整堂課中還滲透著數感、符號感、數學推理等，無形中提升了學生的數學核心素養。