淺談均值不等式的應(yīng)用

吉林師范大學(xué) 王昱行

一、利用均值不等式證明不等式

利用均值不等式證明不等式時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

2.如果式子不具備均值不等式的特點(diǎn)，那么需要通過加減項(xiàng)的方法拼湊成可用均值不等式的形式。

3.靈活應(yīng)用均值不等式的變形形式，注意均值不等式的變形應(yīng)用。

例1 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1。

二、利用均值不等式求最值

在利用均值不等式求最值時(shí)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一證、二定、三相等。即：

①x，y都是正數(shù)。

②積xy（或和x+y）為常數(shù)（有時(shí)需要通過“配湊、分拆”湊出定值）。

③x與y必須能夠相等（即等號(hào)能夠取到）。

特別地，當(dāng)條件中等號(hào)在此不成立時(shí)，此時(shí)不能運(yùn)用均值不等式來解題，而是應(yīng)該應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性來求最值。

三、利用均值不等式比較實(shí)數(shù)大小

1.注意均值不等式成立的前提條件。

2.注意“1”的代換。

3.合理配組，反復(fù)應(yīng)用均值不等式。

本文列舉了常用的有關(guān)均值不等式的三種題型，對于已給定的條件，具體用哪種方法求解，需要首先分析一下給定條件的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，然后再考慮選用什么方法比較妥當(dāng)。因此，在解決相關(guān)問題時(shí)，要多觀察，多總結(jié)。