基于分類討論思想分析高中數(shù)學(xué)解題的思路探討

江蘇省啟東市第一中學(xué) 黃玲美

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略。它主要體現(xiàn)在化整為零、集零為整的思想與歸類整理的方法，它在人的思維發(fā)展中有著重要的作用。它貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)，能夠揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，使數(shù)學(xué)知識(shí)更加條理化。

一、分類討論思想概述

分類討論就是當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，根據(jù)需要對(duì)研究對(duì)象按照某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類都分別進(jìn)行研究，將每一類的結(jié)論都研究出來(lái)，最后再將每一類得出的結(jié)果進(jìn)行綜合，得出這道數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案。分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，可以分成三個(gè)種類：概念型、條件型和含參型。

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的重要性

1.幫助學(xué)生建立完整的思考模式

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生在思考問(wèn)題和解答問(wèn)題的過(guò)程中要具備一定的嚴(yán)謹(jǐn)性，在解答問(wèn)題的時(shí)候也要按照一定的順序來(lái)完成數(shù)學(xué)習(xí)題。不能出現(xiàn)越級(jí)，有利于幫助學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心。高中的數(shù)學(xué)問(wèn)題已經(jīng)不再局限于傳統(tǒng)的一對(duì)一解答方式，其中包含著很多的不確定性。學(xué)生在解題過(guò)程中，只有對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行全面綜合的考慮與分析，才能解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在解決一道數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，學(xué)生就需要對(duì)這道數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類考慮，不能忽略掉其中的任何一個(gè)種類，不然得出的結(jié)論都會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用分類討論思想，就能夠幫助學(xué)生站在問(wèn)題的角度從全局出發(fā)，找出問(wèn)題中的任何一種可能性，還有利于促使學(xué)生保持高度研究的邏輯性，建立完整的思考模式，提升解題效率。

2.促進(jìn)學(xué)生生活學(xué)習(xí)中的嚴(yán)謹(jǐn)性

在分類討論思想的影響下，不僅能夠幫助高中學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維嚴(yán)謹(jǐn)性，還有利于促進(jìn)學(xué)生在日常生活中養(yǎng)成思維嚴(yán)謹(jǐn)性。當(dāng)學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)中的難題時(shí)，就能夠從全局出發(fā)，全面考慮，以最快的速度找出最好的解決方式。

三、分類討論思想在實(shí)際中的應(yīng)用

1.排列組合類問(wèn)題分類討論思想的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生所遇到的數(shù)量關(guān)系有時(shí)不是非常直觀，如果利用分類討論思想建立數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系模型，就能夠有效解決這一問(wèn)題，能夠幫助高中學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。分類討論思想運(yùn)用在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，可以幫助學(xué)生構(gòu)建更加具體的函數(shù)模型，將數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重難點(diǎn)得到簡(jiǎn)化，學(xué)習(xí)起來(lái)非常方便。同時(shí)還可以培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)邏輯思想，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)和學(xué)習(xí)能力的提升。

如學(xué)生在遇到排列組合類型的數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，就要根據(jù)題目中的已知條件、定義等進(jìn)行完整的分類討論。例如有兩排作為，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)在安排2人就座，規(guī)定前排中間的三個(gè)座位不能坐，并且這兩個(gè)人不能左右相鄰，那么不同坐法的種類是（）。

這道習(xí)題需要分三級(jí)進(jìn)行討論，這樣才能計(jì)算出最終答案。在計(jì)算過(guò)程中，需要解決排列組合問(wèn)題和概率問(wèn)題，才能將問(wèn)題不斷簡(jiǎn)化。

（2）兩個(gè)人同排，又可以分為兩個(gè)人同時(shí)都坐在后排，設(shè)種類為兩個(gè)人都坐在前排，設(shè)種類為

2.函數(shù)類問(wèn)題分類討論思想的應(yīng)用

在分段函數(shù)中的應(yīng)用，例如：電信局為配合客戶之間的不同需求，假設(shè)A、B兩種優(yōu)惠方案。這兩種方案中應(yīng)付電話費(fèi)與通話時(shí)間之間的關(guān)系如下圖：

應(yīng)付話費(fèi)（元）

試問(wèn)：（1）如通話時(shí)間為兩個(gè)小時(shí)，按照?qǐng)D中的方案A和B應(yīng)該各付話費(fèi)多少元？

（2）通話時(shí)間在什么范圍之內(nèi)，方案B比方案A更優(yōu)惠？

解析：解答這道題時(shí)，就需要根據(jù)分段函數(shù)的條件以及定義進(jìn)行完整的分類討論。

（1）通話時(shí)間為兩小時(shí)，按照方案A計(jì)算應(yīng)付話費(fèi)為116元，B方案應(yīng)付話費(fèi)為168元。

3.分類討論思想在包含明顯分類信息題目中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，有時(shí)還會(huì)遇到一些帶有明顯分類信息的題目，在解答的過(guò)程中，就需要根據(jù)題目的類型去劃分，不能漏掉任何一個(gè)已知條件。

解析：（1）當(dāng)m-4=0時(shí)，也就是m值為4，函數(shù)為一次函數(shù)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；

函數(shù)中最高項(xiàng)的系數(shù)是含字母的不確定代數(shù)式，決定了它的取值有很多種可能性，這時(shí)就需要采用分類討論法。這道題目的已知條件就是函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)，但是并沒(méi)有說(shuō)明有幾個(gè)交點(diǎn)。

綜上所述，分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用還是非常廣泛的，它能夠?qū)⒁恍┛此品浅?fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化。因此在高中數(shù)學(xué)解題中，就要遵循一定的解題原則，注意合理的分類，必須從全局出發(fā)。