拓寬視角 提升能力

顧寒平

摘?要：現行蘇教版教材的例習題具有較強的基礎性、典型性、示范性和遷移性，反映了相關數學理論的本質屬性，蘊含著重要的數學思維方法。教師應該對這些例習題教學改編、挖掘和拓展，使教材例習題在初三的復習中進一步發揮作用，提升學生的能力。本文以“矩形折疊的再探究”復習課為例，對如何提高初三專題復習的有效性談談個人的一些嘗試。

關鍵詞：拓展視角;專題復習;教學實踐

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A ????文章編號：1992-7711（2018）23-063-2

“矩形折疊”在蘇教版八年級數學教材第九章《中心對稱圖形——平行四邊形》的復習題中已探究過，但隨著學生數學知識和數學經驗的積累，數學能力的不斷提升，有必要引導學生從不同的視角進行深度探究，拓寬學生數學的視角，進一步提升學生的數學能力。

一、教學設計與簡析

問題1：如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，點P為AB邊上一動點，將矩形沿CP折疊，使頂點B與點E重合。

（1）如果點E落在AD邊上時（如圖①），求線段PB的長。

（2）如果點P與點A重合（如圖②），求DN的長。

（3）如果點E落在AD邊的上方，且ME=MA（如圖③），你能求線段PB的長嗎？

（4）點P從點A移到點B的過程中，點E運動的軌跡有規律嗎？

簡析：前兩問主要引導學生回顧矩形、軸對稱、全等、相似、等腰三角形、直角三角形等相關的概念和性質，以及處理基本圖形的方法和數學思想。圖①②是矩形折疊的兩個基本圖形。基本圖形①是使矩形的一個頂點落在矩形的一邊上。這里利用的主要知識有：矩形、軸對稱的性質、勾股定理、△APE∽△DEC;基本圖形②是使矩形沿著對角線折疊。這里利用的主要知識有：矩形、軸對稱的性質、△AEN≌△CDN、折疊后重合部分△ACN是等腰三角形;第（3）問既是前兩問的變式鞏固，也為下一問的難點作好鋪墊。難度有所提升，但有了前面兩問的鋪墊應該不難解決。這里利用的主要知識有：矩形、軸對稱的性質、勾股定理、△AMP≌△MNC∽△DCN;第（4）問拓展我們對矩形折疊的視角，最大的難點在于如何想到點E的軌跡是以點C為圓心，CE長為半徑的圓弧。這既要從“動”中找出“靜”的量，又要對“圓是到定點距離等于定長的點的集合”基本概念的理解。因此嘗試讓學生先畫出大概圖像，再從數學的角度去理解。鋪墊的三種情形是突破口。

問題2：如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點P為AD邊上一動點，將矩形沿CP折疊，使頂點D與點F重合。

（1）如果點F落在對角線AC上時，求線段PD的長。

（2）如果點B、F、P三點在同一直線上時，求線段PD的長。

（3）如果點F落在矩形對稱軸上時，求線段PD的長。

簡析：由問題1中的拓展經驗可知，點F隨著折痕CP位置的變化而變化，點C是定點，CF恒等于定長CD，所以點F的運動軌跡是以點C為圓心，CD長為半徑的圓弧。先把點F定下來：（1）點F落在對角線AC上時，點F是⊙C與AC的交點如圖⑤;（2）點B、F、P三點在同一直線上時，BP是的⊙C的切線，切點為F如圖⑥;（3）當點F落在矩形對稱軸上時，點F是⊙C與矩形對稱軸的交點。再根據軸對稱的性質作出相應的圖形分別如圖⑦—⑩。

主要方法：第（1）問中的圖⑤是三角形折疊的基本圖形，可以利用△APE∽△ACD或勾股定理（Rt△APF）求解;第（2）問圖⑥可以利用△ABP≌△FCB或△BCP是等腰三角形輕松求解;較困難的是第（3）問的求解，矩形的對稱軸有橫豎兩條直線，點F的軌跡與對稱軸可以交在矩形內，也可點交在矩形外。圖⑦由CF=CD=2CJ，得到∠FCJ=60°，利用含特珠角的Rt△CDP求解;圖⑧這種情形顯然不存在;圖⑨利用△PGF∽△FHC求解，這種解法在問題1中已回顧過;圖⑩還是利用△PGF∽△FHC求解，通過計算得到點P在射線DA上，說明不存在。

上述兩環節教學時，教師應給予學生充足的思考時間、充分的表達空間和有效的實踐機會，讓學生進行獨立思考、動手畫圖、猜想驗證等學習活動，對問題進行思辨、優化，以提升學生的數學學習能力。

二、鏈接思考

如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，點P為AB邊上一動點，將矩形沿CP折疊，使頂點A、D分別與點E、F重合。

（1）當EF恰好經過點B時（如圖①），求線段AP的長;

（2）若EF分別與AB、BC相交于點M、N，且∠PCB=225°（如圖②），求△DFG的面積;

（3）在點P從點A移到點B的過程中，求點E運動的路徑長。

三、課堂生成

生成片斷1：問題1中第（4）問

師：點E和點P是關于折痕CP對稱，點E隨著點P的運動不停的變化，點P從點A移到點B的過程中，點E運動的軌跡有規律嗎？

（動手畫圖、猜想驗證……）

生：應該是圓弧吧。

師：你是怎么猜出來的？

生：我找了幾個特殊點，大概畫了一下。

師：你找了哪幾個特殊點呢？

生：就上述三種情況的三個點，再找了一個點B。

師：既然是圓弧，那圓心是誰，半徑是多少呢？

生：點E隨著折痕CP位置的變化而變化，點C是定點，CE恒等于定長CB，所以點E運動的軌跡是以點C為圓心，CB長為半徑的圓弧。

等大部分同學畫出路徑后，教師拖動點P在AB上運動，追蹤點E的軌跡。通過幾何畫板的演示，讓學生更加直觀的認識點E的軌跡。

師：其實，在解決一些動點問題時，我們可以將問題特珠化，通過特珠情形來幫助我們理解動點的問題。解題時我們還要關注前面的問題設置，它有時就是我們解題的“梯子”。

生成片斷2：問題2中第（3）問

師：當點F落在矩形對稱軸上，你能找到這個點嗎？

生：矩形的對稱軸有兩條，我們要分類討論。

師：很好，為了看得清楚，我們將兩條對稱軸分開畫。

生：找到了，分別如圖⑦⑨這兩種情形。

師：你是怎么找到的？

生1：先畫對稱軸，再畫點F的軌跡⊙C，然后根據軸對稱的性質找到點P。

師：有不同的看法嗎？

生2：還有如圖⑧⑩兩種情形呢？

學生開始爭論起來……最后達成共識：圖⑧這種情形直觀判斷顯然不存在;圖⑩這種情形要通過計算判斷是否可以。

師：經過討論，我們達成了共識要求解圖⑦⑨⑩兩種情形。先求誰比較簡單呢？

（學生獨立思考……）

生1：先求圖⑨，它就是問題1中圖①的情形;再求圖⑩，它是圖⑨的變形，“形變神不變”還是可以利用△PGF∽△FHC解決;最后求圖⑦，過點P作一條直線與AB平行就構造了圖⑨的情形。

生2：先求圖⑦，它比較特殊：CF=CD=2CJ，得到∠FCJ=60°，利用含特珠角的Rt△CDP求解。

（生師共同交流，對問題進行思辨、優化……）

四、啟示與反思

1.教學設計要回歸課本

課本中的一些經典例習題，潛力大、功效多，內涵豐富、韻味無窮。作為教師，我們應精心鉆研教材，科學合理安排，深入挖掘利用，發揮教材中例習題的潛在功能，努力創設問題的情境，引導學生去思考、探索，使學生在消化吸收課本經典例習題的基礎上有所發現、有所創新。就能極大地提高學生的學習主動性和積極性，就能充分發揮教材的創造性作用。

2.教學設計要深入淺出

前蘇聯心理學家維果斯基的“最近發展區理論”，認為學生的發展有兩種水平：一種是學生的現有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平;另一種是學生可能的發展水平，也就是通過教學所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發展區。教師應著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，超越其最近發展區而達到下一發展階段的水平，然后在此基礎上進行下一個發展區的發展。

鑒于此，在設計初三復習課時，教師對學情一定要正確把握，對教學內容的選擇一定要深入研究。復習課不是知識點的回憶及簡單問題的羅列與堆砌，問題設計要有一定的思維量，要讓學生的思維處于高水平的認知活動中。

3.教學中重視數學思想方法的滲透

初中數學內容的整體結構有兩個有力的支柱，即數學知識與數學思想方法。數學知識蘊藏著思想方法，數學思想方法又產生數學知識，二者缺一不可。

本節課探究活動過程中始終引導學生抓住軌跡是圓弧這條主線，注重數學問題解決過程中的數學思想方法的滲透，把原來的結論內化成了現在的解題方法，使學生的能力得到了進一步的提升。

4.教學中重視基本圖形的提煉

讀圖、識圖、畫圖、分析圖形是初中學生學習幾何知識的基礎，很多幾何知識是通過圖形來傳遞、表達的，我們通常把這些圖形稱之為基本圖形。圖形可以引發聯想，形成新的圖形，使知識得以有效拓展，以優化和發展學生的數學認知結構，發揮其創造力。