考慮橫向慣性效應時飽和土中大直徑樁的縱向振動研究

龔志超， 楊冬英

(蘇州科技大學 土木工程學院，江蘇 蘇州 215011)

樁-土耦合振動問題的難點之一就是如何建立合理的土介質模型，縱觀現有的研究成果，有將樁周土視為單相介質，不考慮液相(土中水)的影響，比如Keshavarz、Wang、吳文兵等[1-3]；有將土視為固液兩相介質的，即樁周土體為飽和土比如Zeng、Wang、李強、楊驍、劉林超等[4-10]，對飽和土中單樁縱向振動特性進行了研究；也有將土視為非飽和土來研究樁-土耦合振動問題，比如張智卿、王星華等[11-12]，對非飽和土中單樁的縱向振動進行了理論與試驗研究，取得了豐碩的成果。其中，現代工程中，由于工程規模日趨變大，大直徑樁運用范圍極廣，而大直徑樁的振動特性與普通直徑樁的動力特性有所區別，李強等基于Biot飽和土理論并將樁等效為Rayleigh-Love桿研究了飽和土中大直徑嵌巖樁的縱向振動問題，指出了大直徑樁不同于普通直徑樁的振動特性。劉林超等基于飽和多孔介質理論，利用Novak薄層法[13]研究了飽和土中樁基的縱向振動問題，得出了樁頂導納和樁頂復剛度的表達式，并將研究結果與三維模型的結果對比驗證了結果的正確性。楊驍等基于飽和多孔介質理論，研究了考慮橫向慣性效應時成層飽和土中單樁縱向振動特性，得出飽和土中樁頂復剛度的解析解。

在樁受縱向動力荷載作用時，不僅產生縱向變形，橫向變形也會隨之產生。在小應變情況下橫向變形是否能夠忽略不計跟樁的尺寸有關，已有研究結果[14]表明對于大直徑樁來說不能忽略樁身的橫向變形對樁基縱向振動的影響。為了既能合理反映飽和土中大直徑樁振動問題，又能使此耦合問題方便解耦獲取大直徑樁-土耦合振動解，本文基于飽和多孔介質理論和Novak薄層法，考慮樁的橫向慣性效應，建立飽和土中樁基的縱向振動模型，并分析水的體積分數、樁徑等參數對樁頂動力響應的影響，以豐富飽和土中樁基的振動理論。

1 數學模型與基本假定

本文研究的是均質飽和土中樁基的縱向振動特性，樁-土耦合作用模型如圖1所示。各向同性的均質飽和土中有一樁長為H、樁半徑為r0的黏彈性摩擦樁，樁頂受到豎向振動力q(t) 的作用，樁周飽和土體對樁身單位長度上的摩擦力f(z)=2πr0τ。為簡化計算，作出以下假定：①樁為等截面的粘彈性樁，彈性模量和材料阻尼分別為Ep和ηp；②樁底為黏彈性支承，樁底分布式(單位面積上)彈性系數和阻尼系數分別為kb、ηb；③樁周土體為固液兩相飽和多孔介質，并且徑向無限延伸；④樁與樁側土完全接觸，沒有相對滑移和脫離，樁側土體對樁的作用力通過樁側土復剛度傳遞。

圖1 樁-飽和土相互作用模型Fig.1 Model of saturated soil-pile interaction

2 飽和土體的動力響應

基于飽和多孔介質理論和Novak薄層法的假定可知飽和土體的動力控制方程[9]為

(1)

(2)

式中：

解方程式(2)得

(3)

式中：I0和K0分別為零階的第一類和零階的第二類虛宗量的Bessel函數，A和B分別為待定復系數。由于無窮遠處土體位移為零，可得B=0，所以

(4)

(5)

3 樁的縱向振動方程與求解

通過Hamilton變分原理[16]可知考慮橫向慣性效應時樁的任一截面z處所受的截面力為

(6)

式中：Ep、Ap、ηp、υp、ρp分別為樁的彈性模量、截面面積、材料阻尼、泊松比、樁身密度，u=u(z，t)。在樁的任一截面z處取一微元段隔離體進行受力分析，可得考慮橫向慣性效應時樁的縱向振動方程：

(7)

樁頂和樁底處的邊界條件分別為

(8)

初始條件為

(9)

結合初始條件(9)對縱向振動方程(6)進行Laplace變換并進行整理可得

(10)

U(z,ω)=D1cos(λz)+D2sin(λz)

(11)

式中：D1和D2為待定系數，由邊界條件決定。

由位移阻抗函數的定義(力除以位移)并結合樁底邊界條件可得樁頂位移阻抗函數，即樁頂復剛度為

(12)

Zp0=Kr+iKi

其中Kr為動剛度，Ki為動阻尼。

由式(12)可得無量綱化樁頂位移阻抗函數為

(13)

樁頂速度頻域響應函數為

(14)

對Hv(ω)進行無量綱化可得

(15)

(16)

4 參數影響與分析

4.1 樁徑不同時橫向慣性效應對樁頂動力響應的影響

當令樁的泊松比為0時即可得到樁頂動力響應的一維解，圖2～圖5反映的是在其他參數不變的情況下(nL=0.33，nS=0.67)，樁半徑分別為r0=1.0 m和r0=0.4 m時樁的橫向慣性效應對大直徑樁頂動力響應的影響。

從圖2(a)樁頂速度時域響應曲線可以看出，由于考慮橫向慣性效應時波的傳播過程中產生彌散作用，使樁底反射信號的波谷值明顯減小，反射峰值的位置明顯延遲，且反射波曲線出現劇烈震蕩，這將會影響對樁底支承情況的判斷；從圖2(b)樁頂導納曲線可以看出，在低頻段橫向慣性效應對樁頂導納的影響幾乎可以忽略，但隨著無量綱角頻率的增大，共振頻率有所減小。這是由于樁的橫向變形使波在樁中的傳播是彌散的，較高的激振頻率會引起較大的能量損失。同時也說明，對于飽和土中大直徑樁基動力檢測，應對反射信號在樁底附近振蕩的原因加以區別。通過圖2、圖4的比較可以看出，當樁徑明顯減小時，橫向慣性效應對樁頂速度時域響應和樁頂導納的影響明顯減小，幾乎可以忽略。

圖3、圖5反映了大直徑樁的橫向慣性效應對樁頂復剛度的影響。從圖3中可以看出在低頻段，橫向慣性效應對樁頂復剛度的影響可以忽略，但在高頻段，是否考慮橫向慣性效應將對大直徑樁頂復剛度產生明顯的影響：考慮橫向慣性效應會使樁頂復剛度的峰值減小，并且頻率越大，峰值差越大；通過圖3與圖5的比較可以看出，當樁徑明顯減小時，無論是低頻段還是高頻段，橫向慣性效應對樁頂復剛度的影響均明顯減小，甚至可以忽略。綜合圖2～圖5的結論可以說明對于大直徑樁而言，有必要考慮橫向慣性效應對樁頂動力響應的影響，而忽略橫向慣性效應的一維解只適用于細長樁。

圖2 樁的橫向慣性效應對樁頂速度響應的影響(r0=1.0 m)Fig.2 Influence of transversal inertia effect on velocity response at top of pile(r0=1.0 m)

圖3 樁的橫向慣性效應對樁頂復剛度的影響(r0=1.0 m)Fig.3 Influence of transversal inertia effect on complex stiffness at top of pile(r0=1.0 m)

圖4 樁的橫向慣性效應對樁頂速度響應的影響(r0=0.4 m)Fig.4 Influence of transversal inertia effect on velocity response at top of pile(r0=0.4 m)

4.2 樁徑對樁頂動力響應的影響

圖6、圖7反映的是在其他條件不變的情況下(nL=0.33，nS=0.67)，樁徑對樁頂動力響應的影響。

從圖6(a)中的樁頂速度時域響應曲線可得，隨著樁徑的增大，樁底反射信號幅值明顯增大，同時速度時域響應曲線的振蕩也明顯加劇。從圖6(b)中可得，樁徑越大，導納曲線的幅值越大，共振頻率越小。而在一維解中，樁徑的增大并不會引起速度時域響應曲線的振蕩，也不會使共振頻率減小[17]，這是由于受樁的橫向慣性效應的影響，且樁徑越大，影響越大。

圖7反映的是在其他條件不變的情況下，在低頻范圍內樁徑的變化對樁頂復剛度的影響。從樁頂動剛度曲線可得，在低頻范圍內，樁半徑越大，樁頂動剛度越??；隨著激振頻率的增大，樁頂動剛度先增大后減小，且樁半徑越大衰減的越快。從樁頂動阻尼曲線可得，當樁半徑不變時，激振頻率越大，樁頂動阻尼越大；對于同一激振頻率，樁半徑越大，樁頂動阻尼越小。

4.3 水的體積分數對樁頂動力響應的影響

圖8反映的是在其他參數都不變的情況下(其中r0=0.8 m)，水的體積分數對樁頂速度響應的影響(水的體積分數是指飽和土中水的體積與土體總體積的比值)。從圖中可以看出，飽和土中水的體積分數越大，樁底反射信號幅值越大，樁頂導納的幅值也越大，這是由于水的體積分數提高導致土體剪切模量降低的原因。

圖5 樁的橫向慣性效應對樁頂復剛度的影響(r0=0.4 m)Fig.5 Influence of transversal inertia effect on complex stiffness at top of pile(r0=0.4 m)

圖6 樁的半徑對樁頂速度響應的影響Fig.6 Influence of radius on velocity response at top of pile

圖7 樁的半徑對樁頂復剛度的影響Fig.7 Influence of radius on complex stiffness at top of pile

圖8 水的體積分數對樁頂速度響應的影響Fig.8 Influence of water volume fraction on velocity response at top of pile

圖9 水的體積分數對樁頂復剛度的影響Fig.9 Influence of water volume fraction on complex stiffness at top of pile

圖9反映的是在其他參數不變時，在低頻階段，飽和土中水的體積分數對樁頂復剛度的影響。在激振頻率不變時，隨著水的體積分數的增加，樁頂動剛度明顯減小，樁底動阻尼亦減?。辉谒w積分數不變時，隨著激振頻率的增加，樁頂動剛度先增加后降低，且水的體積分數越大衰減的越快，而樁底動阻尼隨著激振頻率的增加而增加。

5 結 論

本文分析了均質飽和土中考慮橫向慣性效應時樁基的縱向振動特性，得出了樁頂導納的解析解和樁頂速度時域響應的半解析解，并分析了相關參數對樁頂動力響應的影響，得到如下結論：

(1)對于大直徑樁基，橫向慣性效應對樁頂動力響應有著明顯的影響：橫向慣性效應會使樁頂速度時域響應曲線的振蕩加劇，樁底反射信號的波谷值明顯減??；在高頻范圍內，橫向慣性效應會使樁頂復剛度的峰值減小，但在低頻范圍內，可以忽略橫向慣性效應對樁頂復剛度的影響。

(2)忽略橫向慣性效應的一維解只適用于細長樁。

(3)其他條件不變時，樁徑的增大使樁底反射信號明顯增強，反射波曲線的振蕩明顯加劇，樁頂導納曲線的峰值增大，共振頻率提前。在低頻范圍內，樁徑的增大會使樁頂動剛度的衰減加快，會使樁頂動阻尼減小。

(4)其他參數不變時，隨著飽和土中水的體積分數的增大，樁底反射信號幅值和樁頂導納幅值均增大。在低頻范圍內，水的體積分數越大，樁頂動剛度越小，且衰減越快，樁頂動阻尼也越小。

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