定角定邊解三角形題的“輪回轉(zhuǎn)世”

林海衛(wèi)

三角形的三條邊a，b，c和三個角A，B，C叫作三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形.解三角形的主要工具是正弦、余弦定理.

解三角形問題，或注重考查“雙基”即基本知識和基本方法，或注重考查與三角函數(shù)知識、不等式知識、平面向量知識、解析幾何知識等綜合運用.解三角形問題，要注意三角形的隱含條件，如三個內(nèi)角和為180°、大邊對大角、任意兩邊之和大于第三邊、角的正弦值為正數(shù)等.解三角形是研究任意三角形的邊角關(guān)系，其關(guān)鍵是要抓住解三角形的知識和方法，再掌握解三角形的一些基本題型及解題方法.

下面，筆者從任意三角形的定角定邊元素入手，通過三角形題的輪回轉(zhuǎn)世來分析解三角形過程中出現(xiàn)的一些題型及其解題思路.

例題在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若A=π3，a=3，求b+c的取值范圍.

解析（法一）由正弦定理：asinA=bsinB=csinC，得b=2sinB，c=2sinC，

b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin2π3-B=3sinB+3cosB=23sinB+π6.

又因為B∈0，2π3，從而b+c∈（3，23].

（法二）由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA.

可得3=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，

從而（b+c）2=3bc+3，

因為b+c≥2bc即bc≤b+c22，

所以（b+c）2≤3b+c22+3，解得-23≤b+c≤23，

又因為b+c>a=3，從而b+c∈（3，23].

（法三）由正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R.

從而點A在實線圓弧上運動，如右圖從變化趨勢看，A趨向B，C時b+c最小，A位于A0處，b+c最大，因而，b+c∈（3，23].

注：此法對于選擇填空題相當(dāng)簡便.

轉(zhuǎn)世為向量題：已知單位向量a，b，c，x，且a+b+c=0，記y=|x-a|+|x-b|+|x-c|，則y的最大值為.

解析如圖所示，由已知可得，正△ABC，邊長為3，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，OD=x，

則|x-a|=|AD|，|x-b|=|BD|，|x-c|=|CD|，

從而y=|AD|+|BD|+|CD|，在△ADC中，AC=3，∠ADC=120°，從而（|AD|+|CD|）max=2，此時|BD|同時取到最大值2（即外接圓直徑），從而ymax=4.

轉(zhuǎn)世為實際問題：如圖所示，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米），如何設(shè)計能使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn)）？

解析更換參照系，讓M，N定，則A在如右圖圓弧上運動，Q為MN中點，|PQ|=3，顯然易得|AQ|max=3，

此時AQ⊥MN，即A，Q，P三點共線，所以|AP|max=23.

轉(zhuǎn)世輪回題：在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若A=π3，a=3，求△ABC內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.

解析（法一）3=a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc，從而bc=13[（b+c）2-3].

又由S=12（a+b+c）r=12bcsinA，得

r=bcsinAa+b+c=32bc3+b+c

=36（b+c）2-33+b+c=36（b+c-3），

即求b+c的取值范圍（求b+c的取值范圍的解答詳見例題）.

（法二）由切線長相等，得|AD|=b+c-a2=b+c-32，又在直角△ADO中，tan30°=rAD，即|AD|=3r，從而可得r=36（b+c-3），即求b+c的取值范圍.

只要掌握解決問題的基本方法和策略，就可以以點帶面，提高解題效率.對于一些更復(fù)雜的三角形綜合題，可能是正弦和余弦定理、三角函數(shù)、不等式、平面向量、解析幾何等知識的綜合運用，只要掌握解三角形的解題思路，再利用轉(zhuǎn)化與劃歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，解題就會游刃有余.

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙建軍.例談用正弦余弦定理解三角形[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（18）：108.endprint