長方體內有乾坤

王園靜+鐘彩容

【摘要】解決某些代數問題時，可根據所給代數形式上的特點，構造出一個適合題意的幾何圖形，比如，長方體.再賦予代數式中的數與字母一定的幾何意義，利用幾何圖形解代數問題.

【關鍵詞】代數問題幾何化；長方體模型

例1若x≥y≥z≥1，且xyz=4，則（log2x）2+（log2y）2+（log2z）2的取值范圍是.

分析設log2x=a，log2y=b，log2z=c，則有log2xyz=log2x+log2y+log2z=2.則可理解題意為：已知a≥b≥c≥0，a+b+c=2，求a2+b2+c2的取值范圍.如圖1所示，在棱長為2的正方體中建立空間直角坐標系D-abc.題目所求可轉化為：三角形平面區域A′BD內一點到原點A（0，0，0）的距離d的平方，則AG≤d≤AB，

而A到面A′BD的最短距離為AG=43，AB=2，故（log2x）2+（log2y）2+（log2z）2=d2∈43，4.正方體作為特殊的長方體，其長、寬、高都相等，并且同一頂點上的三條棱具有兩兩垂直的特殊位置關系.例1應用以上正方體的性質將求代數式范圍的問題轉化為求正方體中頂點到某個平面距離的最值問題，使得所要解決的問題具體化、形象化.

例2已知正數a，b，c滿足a2+b2+c2=1，求證1-a2+1-b2+1-c2>3-（a+b+c）.

分析由題目已知條件形式會聯想到長方體長、寬、高的平方和等于長方體對角線的平方，因此，根據題意構造一個長方體ABCD-A′B′C′D′（如圖2所示）.使AA′=a，A′B′=b，A′D′=c.

由a2+b2+c2=1得AC′=1，因而，AB′=1-c2，AD′=1-b2，A′C′=1-a2.在△AB′C′中，AB′+B′C′>AC′，即1-c2+c>1①.同理可得出1-a2+a>1②，1-b2+b>1③.將①②③式相加即得：1-a2+1-b2+1-c2>3-（a+b+c）.

例3已知α，β，γ均為銳角，且滿足cos2α+cos2β+cos2γ-1=0，求證cotα·cotβ·cotγ≤24.

分析由已知條件有：cos2α+cos2β+cos2γ=1，同樣此形式也很容易會聯想到長方體對角線與三條棱的夾角恰好滿足此關系式.因此，構造長方體ABCD-A′B′C′D′（如圖3所示），使得AC′與棱C′D′，B′C′，CC′的夾角分別為α，β，γ，且滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1，令A′B′=a，A′D′=b，AA′=c.則cotα·cotβ·cotγ=ab2+c2·ba2+c2·cb2+a2≤a2bc·b2ac·c2ab=24.

例2、例3都是長方體對角線性質定理的具體應用，由此可以看出，長方體對角線性質定理如果得到了巧妙的應用，可以幫助我們解決許多問題，并且起到事半功倍的作用.endprint