立足不等式基點(diǎn)感悟數(shù)學(xué)分類方法

孔慶甫

一、從基礎(chǔ)入手解決“方向混淆，實(shí)空不分”的現(xiàn)象

（一）不等號(hào)的代數(shù)與幾何意義

小于號(hào)“<”數(shù)軸表示：

不大于號(hào)“≤”數(shù)軸表示：

大于號(hào)“>”數(shù)軸表示：

不小于號(hào)“≥”數(shù)軸表示：

總結(jié)規(guī)律順口溜：

小于大于對(duì)應(yīng)向左向右；有等無等對(duì)應(yīng)實(shí)心空心.

（二）一元一次不等式組解集的代數(shù)與幾何意義

若a>b，數(shù)軸表示：

① x>a，x>b，數(shù)軸表示如圖所示.

總結(jié)規(guī)律順口溜：大大取大；右右取最右.

∴此不等式組的解集為x>a.

② x

總結(jié)規(guī)律順口溜：小小取小；左左取最左.

∴此不等式組的解集為x

③ xb，數(shù)軸表示如圖所示.

總結(jié)規(guī)律順口溜：小大大小取中間；相向而行在中間.

∴此不等式組的解集為b

④ x>a，x

總結(jié)規(guī)律順口溜：大大小小無處找；背向而行找不到.

∴此不等式組的解集為空集.

（三）不等式組解集引申

例1如果一元一次不等式組x>3，x>a， 解集為x>3，那么a的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng)此題屬于大大取大的形式，由解集x>3，

可知a在3右或與3重合，故a的取值范圍是a≤3.

例2若一元一次不等式組x+a≥0，1-2x>x-2 有解，則a的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng)此題屬于小大大小中間找的形式，要是有解，此不等式組的解集為-a≤x<1，-a在1的左邊，故a的取值范圍是a>-1.

例3關(guān)于x的不等式組2x<3（x-3）+1，3x+24>x+a 有四個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是.

解析此不等式組的解集為8

∵此不等式組有四個(gè)整數(shù)解，

∴x的取值為9，10，11，12.

12<2-4a≤13，即a的取值范圍是-114≤a<-52.

例4已知關(guān)于x的不等式組3x+m<0，x>-5 的所有整數(shù)解的和為-9，求m的取值范圍.

解∵不等式組有解，∴不等式組的解集為-5

點(diǎn)評(píng)此題易錯(cuò)之處在于對(duì)-m3范圍的確定，錯(cuò)寫為① -2≤-m3<-1；② 1≤-m3<2.

二、從實(shí)例中感悟“盈不足”問題的區(qū)分

人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第九章一元一次不等式（組）是整個(gè)初中階段唯一學(xué)習(xí)不等關(guān)系的內(nèi)容，是后續(xù)學(xué)習(xí)方案選擇的基礎(chǔ).本章的核心內(nèi)容是：建立一元一次不等式（組）模型解決實(shí)際問題.對(duì)于七年級(jí)學(xué)生受年齡及認(rèn)知狀況的限制，對(duì)數(shù)學(xué)問題中的符號(hào)化、模型化的思想接受有點(diǎn)困難，因此，教師要強(qiáng)調(diào)學(xué)生認(rèn)真審題，抓住應(yīng)用題中的關(guān)聯(lián)詞來確定一元一次不等式模型，從“分不到”“分到不足”“不空不滿”等關(guān)聯(lián)詞入手.特別是解決“盈不足”的問題.

（一）“分不到”問題

例5把一些書分給幾名同學(xué)，如果每人分3本，那么余8本；如果前面每名同學(xué)分5本，那么最后一個(gè)人就分不到3本.這些書共有多少本，共有多少人？

錯(cuò)解設(shè)共有x人，則書共有（3x+8）本，列不等式組得

0<（3x+8）-5（x-1）<3.

透析這是一個(gè)分物問題，屬于中國古代數(shù)學(xué)典型題之一，涉及不同分配方案，按一種方案分配后有結(jié)余，按另一種方案則不夠分，古代人用算術(shù)法解這類問題，思考起來有一定難度，現(xiàn)在我們用不等式組解更容易.這個(gè)問題中的關(guān)聯(lián)詞“分不到3本”是列不等式的關(guān)鍵，學(xué)生常出錯(cuò)的原因往往是受數(shù)字3的影響，只考慮能分到的情況而忽略了分不到書的情況，造成解題的錯(cuò)誤.

正確解設(shè)共有x人，則書共有（3x+8）本，列不等式組得0≤（3x+8）-5（x-1）<3.

點(diǎn)評(píng)此問題包括分不到書的一種情況，不等式范圍中應(yīng)該包括0.

（二）“分到不足”問題

例6某災(zāi)區(qū)學(xué)校八年級(jí)一班得到一批由某市中小學(xué)捐贈(zèng)的圖書，若每名學(xué)生分4本，則剩余200本；若每名學(xué)生分8本，則有人分到不足8本.求這個(gè)班級(jí)共有多少學(xué)生，他們得到多少本捐贈(zèng)書？

解設(shè)共有x名學(xué)生，獲得捐贈(zèng)書為（4x+200）本，根據(jù)題意列出不等式組得

0<（4x+200）-8（x-1）<8.

點(diǎn)評(píng)這種分配方案的焦點(diǎn)就是“分到不足”的情況，有兩個(gè)關(guān)鍵，一是都分有書；二是8本以內(nèi).在最后一人獲書的范圍中，不包括0的可能性.

（三）不空不滿

例7某賓館一樓比二樓少5間，某旅游團(tuán)有48人，若全部安排在一樓，每間4人，房間不夠，每間5人，有房間沒有住滿.若全住在二樓，每間3人，房間不夠，每間4人，有房間沒有住滿，問賓館一樓有客房幾間？

解設(shè)賓館一樓有客房x間，則二樓有客房（x+5）間，由題意得

4x<48，3（x+5）<48，5x<48，4（x+5）>48，

解得485

∵x是正整數(shù)，∴x=10.

答：賓館一樓有客房10間.

點(diǎn)評(píng)這種不空不滿不等關(guān)系，要弄清楚題目中的未知量，再根據(jù)給出的安排方式以及關(guān)聯(lián)詞，列出不等式組.

以上舉例只是為了解決七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第九章不等式與不等式組中易錯(cuò)的問題，也是為了說明教材中概念及規(guī)則教學(xué)的重要性.教材只是拋磚引玉，它有很強(qiáng)的實(shí)踐性、科學(xué)性、理論性及靈活性.創(chuàng)造性地使用教材，才能出現(xiàn)高效的課堂和學(xué)生的探究，在教學(xué)中要數(shù)形結(jié)合、分類討論，深刻理解概念，不要似是而非，混淆黑白，以免造成數(shù)學(xué)符號(hào)的錯(cuò)誤及解題的誤區(qū).

在教學(xué)中，把學(xué)生推向?qū)W習(xí)的前沿，讓學(xué)生感知教材中的知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想方法，區(qū)別記憶數(shù)學(xué)中的規(guī)則與計(jì)算順序.不怕出錯(cuò)，即使出錯(cuò)也要徹底糾錯(cuò)，糾錯(cuò)的方法是對(duì)錯(cuò)因要刨根問底，對(duì)教材內(nèi)容的創(chuàng)造性整合，以口訣和分類激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生解決不等式（組）問題的能力.