基本不等式的變式教學

李偉

【摘要】基本不等式是高考的必考內容，然而在實際教學中，很多學生對基本不等式的理解和應用上存在偏差.基本不等式的變式教學有利于學生逐步掌握基本不等式及其本質.

【關鍵詞】基本不等式；變式教學

筆者在高三普通班的教學工作中發現，很多學生在利用基本不等式求值域、最值時，往往只關注形式上的滿足，而忽視符號和等號成立條件的滿足.鑒于此，筆者在基本不等式的應用教學中采取變式教學的方法，從易到難，從簡到繁，為學生鋪設思維階梯，讓學生看清問題的本質，從而掌握基本不等式.

教材原題x>0，當x取什么值時，x+1x的值最小？最小值是多少？

先給學生幾分鐘時間解答本題，然后請學生到黑板書寫解題過程，全班同學糾錯，最后教師給出如下解答過程：

解由x>0和基本不等式得x+1x≥2，

等號當且僅當x=1x時成立，此時x=1.

因此，當x=1時，x+1x的值最小，最小值是2.

高考題目一般是將基礎題型通過變換條件、開放條件、變換視覺等手段進行變式.本題包含了基本不等式的三個重要條件，x>0（一正）、x·1x為定值（二定）、等號成立條件（三相等），作為變式母題很合理.

變式一x<0，當x取什么值時，x+1x的值最大？最大值是多少？

學生獨立思考完成，教師在講解時故意錯解變式一，即忽略“一正”這一重要的前提，從而推出矛盾.變式一利用制造問題陷阱的方式，引起學生對基本不等式前提條件的注意.

變式二x≥32，當x取什么值時，x+1x的值最小？最小值是多少？

利用基本不等式解決變式二時，“一正、二定”均滿足，但由于“三相等”的不滿足，會讓學生得出“x+1x沒有最小值”的錯誤結論.變式二說明基本不等式中三個條件的重要性，同時也讓學生看到基本不等式在解題中存在著局限性，激發學生的求知欲.

變式三x≠0，x+1x是否存在最值？若存在，求其最值；若不存在，說明理由.

變式三是教材原題和變式一的綜合體，旨在讓學生準確應用基本不等式的三個條件，并體會分類討論的重要數學思想.借此，介紹對勾函數f（x）=ax+bx（a>0，b>0）及簡單性質，利用函數的思想來說明.教師讓學生課后自主探究“能用基本不等式解決的問題，是否都可以用函數的思想來解決”，并解決變式二.

變式四x≥52，求函數f（x）=x2-4x+52x-4的最小值.

函數y=f（x）經變形得f（x）=12（x-2）+12（x-2），不難看出變式四和教材原題屬于同種題型，但變式四需要先對函數進行必要的處理.變式四主要強調利用基本不等式求值域、最值的關鍵是獲得定值條件，即“二定”.

變式五x>0，y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

獲得定值條件是解題的關鍵，因此利用變式五引出獲得定值條件的方法.運用適當的“拆項、添項、配湊、變形”等方法可創造應用基本不等式的條件.

變式六0

教材原題和以上所有變式都是積為定值，會讓學生認為只能積為定值.變式六提醒學生，基本不等式定值中的“二定”可以是積為定值，也可以是和為定值.既發散了學生的思維，又拓展了知識的深度.

變式七求函數f（x）=x2+3x2+2的最小值.

函數變形后得f（x）=x2+2+1x2+2，“一正、二定”都符合，由于“三相等”不滿足，導致基本不等式出現錯解.變式七能說明利用基本不等式求值域、最值時，“一正、二定、三相等”三個條件缺一不可.當三個條件不能同時滿足時，需要轉換思維，尋求其他解決方法.

本文通過對一道教材原題、七道變式題的講解和對勾函數的補充，讓學生從本質上認識題目，加深了對基本不等式的理解和應用.同時，采取變式教學的方法，對題目進行變式發散，不僅拓展了數學知識的深度，也拓展了學生的思路，培養了學生思維的嚴密性、深刻性和靈活性，加強了學生對基礎知識和基本技能的理解.