基于變構模型的概率密度函數的教學探索

【摘要】筆者把變構模型理論應用到教學中去，對概率密度函數的教學問題進行了有益的探索.借助于學生的先擁概念提出了一種新穎的概率密度函數的教學導入方式，分析了概率密度函數的說明功能和應用功能，結合統計方法揭示了概率密度函數的本質屬性.

【關鍵詞】變構模型；概率密度函數；統計；直方圖

【基金項目】山東省教育科學“十二五”規劃課題資助項目（YBS15002）.

一、引言

概率密度函數是概率論課程中的一個重要的概念，它在科學和工程的許多領域中都扮演了非常重要的角色，是我們研究連續型隨機系統及解決相關問題的必要工具，是廣大的工程技術人員和教育工作者感興趣的研究課題，許多文獻中都有相關的論述和結論[1-5].

數學是對客觀世界的反映，它當然應該為社會實踐服務.許多科技工作者把概率密度函數與他們的專業背景結合起來，得到了許多重要成果.文獻[6]研究了一種面向非線性隨機系統穩態響應的概率密度函數形狀控制方法.利用Fokker-Planck-Kolmogorov方程，導出了概率密度函數指數部分的泰勒展開式系數與系統控制增益之間的關系，并將相應的控制問題轉化為一個非線性跟蹤優化問題，針對該優化問題提出了相應的粒子群優化算法，得出了最優控制增益.文獻[7]研究了巖土參數的概率密度函數在巖土工程可靠性分析中的應用問題，根據試驗樣本矩利用數值逼近方法和勒讓德正交多項式來擬合巖土隨機參數的概率密度函數，并根據有限比較法確定了其中的最佳分布概型，所得到的逼近表達式有很好的擬合性，數值計算方法可行，能夠滿足巖土工程可靠性分析的要求.

教育擔負著為社會培養人才的重任，落實到每門課程的教學都責任重大，教學質量直接關乎能否培養出高水平的人才.因此，廣大的教育工作者進行教育教學研究的熱情也十分高漲.概率密度函數是概率論教學中的教學重點和難點問題，近些年來涌現出許多的教育教學研究成果.文獻[8]探究了利用牛頓元素法求連續型隨機變量函數的概率密度的方法問題，所提出的方法不僅與求離散型隨機變量函數的概率分布的計算方法相類似，而且新方法更加直觀簡便，特別是在求解復雜的隨機變量函數的概率密度函數時，此方法顯得更加優越.文獻[9]探討了利用正態分布逼近統計量分布時的最小自由度的估計問題，研究了采用等距抽樣和簡單隨機抽樣兩種不同抽樣方式下，當自由度不同情況時抽樣分布與其漸近正態分布在分布函數上的絕對偏差.建立了均方絕對偏差與抽樣分布自由度之間的非線性回歸方程，并借助統計圖形分析，提出了滿足偏差精度要求的運用正態分布近似計算的最小自由度的估計方法.但是，目前關于概率密度函數的教學普遍還是采用傳輸式模式進行的，基本是按照教材進行直接傳授，結果是學生難以真正透徹地理解其由來、含義及功用等一系列問題.雖然一般性的問題學生能夠解決，但那也只是在初步理解基礎上的一種模仿，難以吃透，也談不上借助于教與學提高素質發展能力.筆者把變構模型理論引入到概率密度函數的教學中去，效果良好.所謂變構模型[10]，概括地說，就是知識的學習以及能力與素質的提升需要學生利用其先擁綜合構架提供的知識儲備、思維模式和評判體系，并借助于這一知識和思維的多維框架，在適當的學習境脈和教師的教學干預中對所研究對象進行反復煉制，啟動和調用先擁工具及關聯，對不同信息進行研究和解碼，然后對其進行重塑的過程.這是一個解構和重新建構的過程，通常這兩個過程并不是涇渭分明的，而是協同并行的，是對立統一的.在這個過程中，學生的概念體系和心智結構都會發生改變，新知識、新思維與操作模式也就建立起來了.基于變構模型理論，針對概率密度函數教學，我們從離散型隨機變量的分布律入手，導出問題，層層分析，引導學生調用相關知識及關聯并進行適當教學干預，對問題進行解構并重新建構，從多個方面展開剖析，進行探究式學習，從教學實踐來看效果是令人滿意的.

二、問題的導入

學習連續型隨機變量的概率分布問題，遵循認知規律應從離散型隨機變量的分布律講起.離散型隨機變量的分布律也稱為質量分布函數，它揭示了隨機變量的取值的偏好問題，反映出了離散型隨機變量的基本信息.

先解析一個簡單例子，假設隨機變量X的分布律見下表.

X012

P0.20.10.7

我們來簡單分析一下它所包含的信息.上述隨機變量的分布律告訴我們：這個隨機變量的取值不是均勻分布的，而是有所偏重、有所偏好的，如果進行大量重復試驗，那么，隨機變量X取值為2的比重大約為七成，取值為0的比重大約為兩成，取值為1的比重大約為一成.離散型隨機變量的分布律非常直觀地告訴我們隨機變量取值的偏好.但對于連續型隨機變量來說，因為其取值為無窮不可數集，不能機械照搬離散型隨機變量的質量分布函數，這種情況下就要調用先擁知識，對問題進行解構.兩種隨機變量的取值情況不同，但都具有隨機特征、取值偏好特征等等，因此，從拓撲意義上來說，它們是有共性的，可是，我們又難以用離散數值來研究連續型隨機變量，考慮到與質量分布函數密切相關的分布函數，猜想能否引入一種連續函數來幫助研究連續型隨機變量呢？把這些情況擺清楚，學生就會產生解決問題的渴望，教師再給予適當的引導、講解、干預和思維激勵，就可使學生把新知識融入先擁知識的框架中去.一方面，可以讀透教材并進行深入的探索，另一方面，他們的能力和素質又可以得到良好的發展.

要研究連續型隨機變量的概率分布，當然要從與概率有關的問題入手，自然會聯想到隨機變量的分布函數.

我們知道離散型隨機變量的分布函數在其可導點處的導數為零，對于連續型隨機變量X的分布函數，由隨機變量的分布函數的性質知，其導數應該為一非負函數.假設連續型隨機變量X的分布函數為F（x），并存在非負可積函數f（x）使得F′（x）=f（x），同時假設廣義積分

∫+∞-∞f（t）dt

收斂.這種假設并不苛刻，所對應的實際背景在生產實踐中隨處可見.上述假設告訴我們F（x）是f（x）的一個原函數，而變上限積分∫xaf（t）dt也是f（x）的一個原函數，其中a是一個常數，則存在常數C使得endprint

F（x）=∫xaf（t）dt+C，（1）

由 limx→-∞F（x）=0，可得C=∫a-∞f（t）dt，于是，有

F（x）=∫x-∞f（t）dt.（2）

符合上述規律的隨機變量就是連續型隨機變量，函數f（x）叫作連續型隨機變量X的概率密度函數.

這樣導入連續型隨機變量的定義及其概率密度函數就自然一些，與直接給出連續型隨機變量及其概率密度函數的定義相比，這樣處理教學效果好得多.當然，這樣并不能解決學生的所有疑惑，需要反復探索研究和知識煉制.在學習了連續型隨機變量的定義之后，再來進一步研究其概率密度函數的性質，解釋其重要功能，使學生加深對知識的理解.

三、概率密度函數的重要功能

下面將分析概率密度函數的說明功能和應用功能，引導學生進行解構和重新建構，對所學知識進行反復煉制.

由P{a

P{a

由式（2）及分布函數的定義容易得到

P{X>a}=∫+∞af（t）dt.（4）

上述幾個式子告訴我們：連續型隨機變量X落入某區間的概率等于其概率密度函數在這個區間上的積分，同時，f（x）還揭示了隨機變量取值的偏好，關于這個問題到后面再予以進一步解釋.計算隨機變量落入某區間的概率以及說明隨機變量取值的偏好是隨機變量的概率密度函數的兩個重要功用.

易見概率密度函數具有下列性質：

① f（x）≥0；

② ∫+∞-∞f（t）dt=1；

③ 連續型隨機變量X任取一定值a的概率為零，因為

P{X=a}=limΔx→0+P{a-Δx

=limΔx→0+∫aa-Δxf（x）dx=0；

④ 若f（x）在x處連續，則有F′（x）=f（x），

事實上，由導數的定義知

f（x）=limΔx→0+F（x+Δx）-F（x）Δx

=limΔx→0+P{x

四、統計解釋

運用元認知對所學知識的掌握進行評估，通過上述分析，學生對于其概率密度函數有了一定程度的理解，但對于其本質屬性可能依然不會有太深刻的理解，仍舊需要進一步深入探討，下面再從統計角度予以解釋.

上述解釋依然不夠直觀，概率密度函數到底是怎樣描述隨機變量的分布狀況的，學生仍然會對這類問題及相關問題存疑，這時教師還要進一步干預和引導.下面利用直方圖予以進一步講解，使學生更加透徹地理解概率密度函數.

研究某連續型隨機變量X，采集統計數據，找出統計數據的最大值和最小值，并以比最小值略小的值作為左端點，以比最大值略大的值作為右端點做區間，然后將此區間等分，假設分成了n個小區間，記小區間的長度為Δ，數出落入每個小區間內的數據的頻數fi，然后自左到右依次在每個小區間上以finΔ為高作小矩形，這樣的圖形即所謂的頻率直方圖，這種小矩形的面積就是統計數據落在該小區間上的頻率，當n很大時，頻率約等于概率.這種直方圖的輪廓線接近于概率密度曲線.

看到這種直觀解釋，學生才能對其概率密度函數有一個比較深刻的理解.

五、結論與認識

把變構模型理論運用到教學實踐中去，對概率密度函數的教學問題進行了深入的探索.從離散型隨機變量的分布律出發，借助于學生的有關微積分的先擁知識提出了一種新的概率密度函數的教學導入方式，通過分析概率密度函數的說明功能和應用功能，引導學生進行解構和重新建構，對所學知識進行反復煉制，運用元認知并結合統計方法揭示了概率密度函數的本質屬性.

在概率論課程的教學中，概率密度函數是教學重點也是難點問題，采用直接傳授模式等傳統方法進行教學，效果不盡如人意.而把變構模型理論應用到概率密度函數教學中去，引導學生自然地發現問題，實施恰當的教學干預，幫助學生進行解構和建構，從認知、意向、情緒、元認知、潛層認知和感知等多個維度幫助學生進行知識煉制，進而達到其概念的轉化，從教學實踐來看其效果是良好的.同時，這種方法具有較大的推廣價值，對于大學數學教學具有較大的現實意義.

【參考文獻】

[1]陳平.應用數理統計[M].北京：機械工業出版社，2008.

[2]Lingzhi Wang，Fucai Qian，Jun Liu.Shape control on probability density function in stochastic systems[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2014（1）：144-149.

[3]Huabin Ruan，Xiaomeng Huang，Haohuan Fu，Guangwen Yang.A fully pipelined probability density function engine for Gaussian copula model[J].Tsinghua Science and Technology，2014（2）：195-202.

[4]Proppe Carsten.Exact stationary probability density functions for non-linear systems under poisson white noise excitation[J].s.n.，2003（4）：557-564.

[5]王以忠，張化光.一類非線性隨機區間系統的指數穩定性分析與綜合[J].東北大學學報（自然科學版），2006（3）：252-255.

[6]楊恒占，錢富才，高嵩，江濤.一類隨機系統的概率密度函數形狀控制[J].系統工程理論與實踐，2016（9）：2424-2431.

[7]宮鳳強，李夕兵，鄧建，朱純海.巖土參數概率密度函數的正交多項式推斷[J].地下空間與工程學報，2006（1）：108-111，119.

[8]朱慧敏.運用Newton微元法求解概率密度函數[J].復旦學報（自然科學版），2011（1）：65-70.

[9]呂書龍，劉文麗.抽樣分布漸近正態近似計算中最小自由度的估計與教學思考[J].大學數學，2017（3）：81-88.

[10]焦爾當，裴新寧.變構模型：學習研究的新路徑[M].杭零，譯.北京：教育科學出版社，2010.