關于區分命題的條件和結論的調查及思考*

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(寧波大學附屬學校,浙江 寧波 315033)

1 背景介紹

學生學習的數學命題一般由條件和結論兩部分組成.《義務教育數學課程標準(2011年版)》對區分命題的條件和結論的教學要求是“結合具體實例，會區分命題的條件和結論”[1].事實上，學生區分命題條件和結論不是一件容易的事，特別是對區分含有多個幾何條件的約略命題的條件和結論更有困難.為了解教師對命題條件和結論的理解情況，筆者借助教師培訓活動對48位教師進行了有目的的調查.

2 調查方法

首先，筆者用多媒體呈現下列問題及教學參考書提供的答案.

問題1 命題“三角形的兩邊之和大于第三邊”的條件和結論分別是什么？

教學參考書提供的答案是：條件是“三角形的兩條邊之和”；結論是“大于第三邊”[2].

問題2 命題“三角形3個內角的和等于180°”的條件和結論分別是什么？

教學參考書提供的答案是：條件是“3個角是一個三角形的內角”；結論是“這3個角的和等于180°”[2].

其次，筆者要求教師用書面的方式獨立回答下列問題：

1)對于問題1，教學參考書提供的答案正確嗎？如果不正確，應該怎樣修改？

2)上述兩個命題的結構完全相同，為何問題1教學參考書是從數量關系的角度來表述命題的條件，而問題2教學參考書是從位置關系的角度來表述命題的條件？

3)對含有多個幾何條件的約略命題是否可用數量關系和位置關系這兩種形式來表述命題的條件？如果你認為可以的話，請舉例說明.

3 調查結果及分析

3.1 調查結果

對于問題1)，統計結果是：有16人表示教學參考書提供的答案是正確的；有18人表示教學參考書提供的答案不夠具體，應改為：條件是“一條線段是三角形兩條邊之和”，結論是“這條線段大于三角形的第三邊(線段)”；有14人沒有具體的態度.對于問題2)，統計結果是：所有被調查的教師沒有作出正確的回答.對于問題3)，統計結果是：有38人認為可以用數量關系和位置關系來表述命題的條件，但舉例說明的只有2人，例如，問題1中的條件可以是“兩條線段是三角形的兩條邊”，結論可以是“這兩條線段(邊)的和大于三角形的第三邊(線段)”；有10人表示不明確.

3.2 原因分析

事實上，問題1中教學參考書提供的答案是約略的說法，顯然不規范.因為命題的條件和結論應該是有判斷的陳述句，但這里的條件不是有判斷的陳述句，結論的判斷也不完整，不知道什么大于第三邊.之所以部分教師不能正確地回答問題1)，是因為教師不明確這部分命題的條件和結論的基本要求.事實上，教學參考書對問題1和問題2只提供一種答案是不完整的.例如，問題2還有一種答案是：條件是“一個角的度數是三角形3個內角的和”，結論是“這個角的度數等于180°”.之所以部分教師不能正確地回答問題2)，是因為這部分教師往往把教學參考書提供的答案作為標準答案，而自己對這類問題缺乏深入的思考.事實上，對含有多個幾何條件的約略命題可用位置關系和數量關系這兩種形式來表述命題的條件.之所以部分教師不能正確地回答問題3)，是因為這部分教師缺乏對這類問題的研究，不敢提出與教學參考書不同的表述形式.

4 結論及建議

4.1 結論

盡管在浙教版《數學》八年級上冊第1.2節“定義與命題”中有這樣的陳述：判斷某一件事情的句子叫做命題，在數學上學習的命題一般由條件和結論兩部分組成，條件是已知事項，結論是由已知事項得到的事項.這樣的命題可以寫成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”開始的部分是條件，“那么”后面的部分是結論.但對48位教師的調查結果可以估計教師對命題條件和結論的理解存在偏差的現象具有普遍性，特別是不明確對含有多個幾何條件的約略命題可用數量關系和位置關系這兩種形式來表述命題的條件.

4.2 建議

1)教材應顯化命題的條件和結論的基本要求——命題的條件應該是有判斷的陳述句(命題的子命題)，命題的結論也應該是有判斷的陳述句(命題的子命題).這樣就不會出現上述教學參考書中提供的不完整的說法.

2)教學參考書應提供完整的答案.教學參考書在區分含有多個幾何條件的約略命題的條件和結論時，只提供了通俗說法，應提供完整的答案，以幫助教師明確可用位置關系和數量關系這兩種形式來表述命題的條件.例如，區分下列命題的條件和結論都有兩種答案.

例1說出命題“等腰三角形的兩個底角相等”的條件和結論.

答案1條件是“一個三角形是等腰三角形”；結論是“這個三角形的兩個底角相等”.

答案2條件是“兩個角是等腰三角形的底角”；結論是“這兩個角相等”.

例2說出命題“等角的余角相等”的條件和結論.

答案1條件是“兩個角相等”；結論是“這兩個角的余角相等”.

答案2條件是“兩個角是等角的余角”；結論是“這兩個角相等”.

例3說出命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的條件和結論.

答案1條件是“一個點在線段的垂直平分線上”；結論是“這個點到線段兩端的距離相等”.

答案2條件是“兩條線段的長度分別是線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離”；結論是“這兩條線段相等”.

3)教材要修改不正確的表述.例如，浙教版《數學》八年級上冊第2.5節中例1的表述需要修改.例1是說出定理“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題，并證明這個逆命題是真命題.事實上，這個命題有以下兩個逆命題：

逆命題1 如果一個點到線段兩端的距離相等，那么這個點在線段的垂直平分線上.

逆命題2如果兩條線段相等，那么這兩條線段的長度是線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離.

顯然，逆命題1是真命題，而逆命題2是假命題.因此，教材的這個例題應修改成：請說出定理“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題，并證明這個逆命題.這樣涉及了兩種情況并且兩種情況都能證明(或舉反例說明).在此基礎上，把真命題凸顯出來——作為定理使用，這樣顯得更順理成章.

總之，區分命題的條件和結論，教材應給出具體的標準，以避免教師混淆.否則教師都感到困惑，學生就達不到“結合具體實例，會區分命題的條件和結論”的要求.