分類討論思想在高中數學解題中的應用

摘 要：分類討論思想應用在高中數學解題中能有效幫助學生找準解題的關鍵點，對學生數學思維的訓練有著非常重要的意義。近幾年來利用分類討論思想解題已經成為高考的重點和難點，也是學生最容易丟分的地方。因此需要我們加深對分類討論思想的理解，明白其標準和原則，鍛煉學生的邏輯思維能力，更好地將其應用到數學解題中。

關鍵詞：分類討論思想；高中數學；解題；應用

在我國，對數學思想方法的研究起步較晚，進入21世紀之后才逐漸展開了這方面的研究。雖說也涌現了一些較為新穎的研究成果，但總體的研究進程仍較為緩慢。所以當前對分類討論思想的研究仍未形成一個完整的理論體系，結合學生在高考中的表現分析，有關于這類題目學生的得分率較低。因此，推進分類討論思想在高中數學解題中的應用已經成為提高學生成績所必須要面對的問題。將分類討論思想應用到高中數學的解題中去，不僅能夠把數學的解題過程化繁為簡，提高解題速度，還能培養學生的數學思維。

一、 分類討論思想的基本概述

1. 分類討論的思想

分類討論思想在高中數學解題中經常使用，在解答某一題目時，當解答到某一步之后便不能再用固定的模式繼續解答，這是由于被研究的問題中會包含多種情況，這樣就必須在題目條件所限定的范圍內劃分子區域，在子區域內進行求解，這就是分類討論思想的基本概念。更具體來說，分類討論思想是以概念的劃分以及集合的分類為基礎的思想方法。實際解題中應用分類討論思想需要遵循由大劃小，由整體劃部分，由一般劃特殊的原則。雖說分類討論思想的重點在“分”，但是完成“分”之后，還應該將其組合起來，由“合”到“分”再到“合”，便是分類討論思想的精髓。

2. 分類討論的標準

我們也可以把分類稱之為劃分，根據對象的相同點和差異點將其區分為不同種類的邏輯方法，而數學范疇的劃分是根據數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同的種類。分類是以比較作為基礎，通過比較能夠明確數學對象之間的差異，再根據對象之間的相同點將數學對象歸為較大的類，之后根據差異點將數學對象規劃為較小的類，這就能夠把數學對象構建成一個具有嚴密從屬關系的邏輯體系。

3. 分類討論的原則

高中數學解題中分類討論的原則主要體現在以下幾個方面。首先同一性原則，數學對象的分類應該按照統一的標準來進行，每次劃分不能同時采用幾個劃分標準。其次互斥性原則，分類之后的各個子項應該是互不相容的，換句話來說各個子項之間應該保持相互排斥的關系，分類后的數學元素不能屬于一個子項，又同時屬于另一個子項。然后層次性原則，對于數學對象的分類也有一次和多次之分，以此分類是對被討論對象只進行以此分類，而多次分類是把分類后所有的子項都作為母項再進行分類，直到滿足所要求的結果為止。最后相稱性原則，對于元素的分類也應該做到相稱，劃分后子項外延的總和應該等同于母項的外延。

二、 分類討論思想應用于高中數學解題中的重要性

將分類討論思想應用到高中數學解題中具有重要意義，首先在這一思想的指導下我們的邏輯思維能力更為清晰，因為數學是一門理性的科目，很多的理論知識又較為抽象，這在一定程度上增加了解題的難度，而利用分類討論的思想能夠為學生們理清解題思路，提高解題的速度和正確率。其次利用分類討論思想工作能夠更好地解決數學實際問題，將其與生活更好地關聯起來，真正做到學以致用。在應用這一思想時要抓住問題的主干，確定變化條件的范圍和方向，遵循分類討論的數學解題思想。

三、 分類討論思想在高中數學解題中的實際應用

1. 分類討論思想在集合中的應用

集合類題目的運算中常常會需要綜合元素與集合以及集合與集合之間的關系來對題目進行分類討論。在一些含參數的集合問題中，也只有通過分類討論才能夠完成對題目的解答，高考中這類題目通常以選擇或者填空題的形式出現，偶爾也會用計算題的形式來考察這部分知識。所以要盡可能地做到細心分類，避免出現遺漏，這樣才能夠得出正確的結論。

2. 分類討論思想在概率中的應用

在高中數學學習中概率占據著相當重要的一部分，也是高考常考的重點題型。利用分類討論思想來解答概率題型的時候，我們應該從問題的本身入手，根據題目的要求進行分類，以此來求得最終的答案。首先我們應該確定題目中概率的類型，其次就是對題目中已知的條件對各個數進行編號，然后就是用分類討論的思想對題目研究對象中變量的可能性數值進行合理的假設，確定最為合理的方式。最后就是利用分類討論思想得出最后的結論，這不僅最大程度地節約了解題的時間，還能有效保證解題的正確率。

3. 分類討論思想在函數中的應用

函數題型一直是高中數學教學的重點和難點，在解題的過程中如果函數的參數值發生變化，則必然會導致函數結果發生變化。因此在利用分類討論思想解答函數問題時，也應該對函數的參數值進行分類討論，讓學生能夠深入到問題的本質，提高解題的速度和準確度，這樣也能夠有效地提高學生學習的興趣，從而推動數學教學的不斷進步。

4. 分類討論思想在數列解題中的應用

分類討論思想被廣泛應用于數列的解題過程，特別適用于數列周期性問題、等比數列求和問題等方面，學生利用分類討論思想可以提高解題速度，保證解題的準確性。像如題目中未對公比的取值范圍做出明確的規定，因此在解題的過程中我們要用分類討論的思想對此進行分析，在解答的過程中要考慮取值范圍的特殊情況，最終確定正確的取值范圍。

四、 總結

分類討論思想是高中數學解題過程中最為常見的方法，對于提高學生的解題效率、培養學生的學習興趣具有重要意義。在日常的學習中，老師應該引導學生積極運用分類討論的解題方法，培養學生的數學思維，像如利用分類討論思想解決函數問題、數列問題以及概率問題等，引導他們真正的學以致用。本文筆者結合個人經驗對此類問題進行了總結，希望能對相關工作的落實有所幫助。

參考文獻：

[1]孫志權.分類討論思想在高中數學解題中的應用研究[J].數學大世界（中旬），2017，（06）：79.[2017-09-19].

[2]劉祝蕓.關于分類討論思想在高中數學解題中的應用思考[J].經貿實踐，2016，（19）：80.[2017-09-19].

[3]葉偉文.例說分類討論思想在高中數學解題中的應用[J].數學教學通訊，2010，（27）：59-60.[2017-09-19].

作者簡介：

劉彥龍，內蒙古自治區呼和浩特市，托克托縣民族中學。endprint