關于《復變函數(shù)論》教學改革的實踐研究

中原工學院理學院 王 鑫 焦成文

《復變函數(shù)論》是大學本科階段數(shù)學專業(yè)的必修課程之一，其重要性不言而喻。20世紀以來，復變函數(shù)作為一個重要工具被廣泛地應用在眾多領域，如理論物理、工程力學、流體力學和彈性理論等，并已經(jīng)滲透到數(shù)學的各個分支，如解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論、偏微分方程的初邊值問題和代數(shù)幾何理論等。近幾十年來，我國數(shù)學教育工作者對《復變函數(shù)論》課程的教材編寫和課程改革進行了很多有益的嘗試和努力，然而教學內容和教學模式仍存在一些問題和弊端。為了適應新形勢下的高等教育，實現(xiàn)培養(yǎng)理論基礎知識和社會實踐能力強的大學生的目標，有必要對這門課程的教學進行一些改革的嘗試，下面從教學方法和課程建設兩方面來談下改革的內容和思路。

一、教學方法改革

《復變函數(shù)論》教材由四川大學數(shù)學學院鐘玉泉教授編寫，一般需要一學期共60學時完成，為了使學生能更好地理解和掌握教材中的知識點，需要對現(xiàn)有的教學方法作適當改進和調整。

1.類比教學。

《復變函數(shù)論》教材中的一些內容，如復數(shù)的概念、復數(shù)的四則運算、復數(shù)的模、復數(shù)的乘冪和方根是中學階段學過的內容。還有一些內容，如復變函數(shù)的極限和連續(xù)、復變函數(shù)的導數(shù)和微分、復級數(shù)的斂散性判定和解析函數(shù)的泰勒展開等和《數(shù)學分析》相關的內容十分相近。因此，在講授這些內容時，應該多與學生高中所學的這部分內容以及《數(shù)學分析》中對應的內容作類比，指出前后的承接關系和異同。

2.案例教學。

傳統(tǒng)的教學模式都是重理論輕應用的填鴨式教育，學生往往忽略抽象的定理背后所隱藏的生動的實例，也因此大多數(shù)學習這門課的學生都會覺得書上的定理證明和概念公式太多，從而對課程的學習失去興趣和信心。因此教師在講課過程中應該多從例子入手，引出定理。例如，講授柯西-黎曼方程時，可以先列舉幾個解析函數(shù)，驗證它們滿足柯西-黎曼方程，再通過幾個反例，驗證柯西-黎曼方程不成立，最后得到解析函數(shù)可微的必要條件，即柯西-黎曼方程。通過一系列正例尤其是反例，加深學生對定理的理解和運用。

二、課程建設改革

《復變函數(shù)論》的知識點大多都比較抽象，為使學生更加清晰地了解和認識這門學科，在教學方法改革的同時，需要進行相應的課程建設。

1.數(shù)學文化建設。

復變函數(shù)的研究起源于求解代數(shù)方程，當一元二次方程根的判別式小于零時，就會遇到復數(shù)開方的問題。16世紀意大利科學家卡爾丹在1545年求解三次代數(shù)方程時，產(chǎn)生了復數(shù)開方的思想。之后歐拉、高斯等給出了復數(shù)理論的系統(tǒng)描述。19世紀以后，柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯等形成了系統(tǒng)的復變函數(shù)理論研究體系 。可以說，從復變函數(shù)的起源到發(fā)展到成熟，再到最新的進展，整個課程都滲透著濃厚的數(shù)學文化。教學過程中，可以適當增加一些復變函數(shù)學科的發(fā)展歷程和一些數(shù)學家的逸聞趣事，以激發(fā)學生學習該課程的興趣。

2.精品課件建設。

在教學過程中，多媒體發(fā)揮了重要的作用，通過一些具體的圖形展示，如若爾當曲線、支割線、積分曲線和積分區(qū)域等，可以使抽象的問題具體化和形象化，所以精品課件的建設顯得非常重要。一個好的課件可以提升學生學習的興趣和更加豐富地展現(xiàn)課程的魅力，使學生“看明白，聽清楚，想透徹”。教師在教學過程中，可以結合自己的講課經(jīng)驗，博采眾長，搜集一些精美的圖形圖片和優(yōu)美的數(shù)學證明，利用多媒體教學，以大大提高教學效果。

3.發(fā)散思維建設。

教學過程中應提倡“一題多解”，發(fā)散學生思維，使學生能舉一反三，觸類旁通。例如，求閉曲線上的復積分時，可以用柯西積分公式和留數(shù)定理兩種方法給學生分別展示求解過程。證明解析函數(shù)的羅爾定理時，可以用解析函數(shù)的平均值定理和最大模原理來分別演示證明。還有，在證明代數(shù)學基本定理時，學生應該會運用劉維爾定理和魯歇定理這兩種方法來證明，以增加對各個定理和原理的融會貫通的能力。

總之，在復變函數(shù)的教學過程中，教師應改革傳統(tǒng)的教學方法和加強課程建設，用新的教學理念指導，精心設計每一節(jié)課，在教學過程中讓學生充分參與和享受課堂，使得學生能系統(tǒng)地掌握復變函數(shù)的理論方法。

[1]鐘玉泉.復變函數(shù)論 [M].高等教育出版社，2013.

[2]貝爾.數(shù)學大師：從芝諾到龐加萊[M].上海科技教育出版社，2004.

[3]張繼兵，高云柱.關于復變函數(shù)論課程教學改革的思考 [J].吉林農業(yè)科技學院學報，2013，22，111-113.

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