高中數學函數概念變式的有效性應用研究

摘要：在高中數學中包含著許多的數學思想，其中函數思想就是其中之一，這種思想對有效提升學生數學學習能力和解答數學題目的速度具有十分重要的幫助，因此，教師在數學基本函數的實踐教學過程中要重視對學生函數思維的培養，從而提升學生掌握數學知識的能力.本文主要探討的是函數變式教學的運用，從而更好地提升學生對函數知識的掌握能力.

關鍵詞：高中數學；函數概念；變式教學；應用

作者簡介：陳錫偉（1983-），男，江蘇省江陰人，本科，中學一級教師，主要從事高中數學教學研究

變式教學能夠根據知識的學習，掌握其中的本質，通過改變其中的條件或者提問方式而使數學問題以不同的方式呈現出來，體現出數學問題的靈活轉化性，同時也揭示出數學問題中本質概念和問題屬性的關系[1].本文通過分析函數知識教學中變式教學的具體應用，期待能夠對提升學生解答數學問題的能力帶來積極、有效的幫助.

一、映射概念的理解

以映射知識為例進行分析.教師先通過正例的方式直觀呈現相關的知識點，能夠有效掌握映射所指代的意義.如圖所示：

根據映射定義可知：集合A所包含任何元素都能夠在集合B中找到一個確定、唯一的對應元素.而在圖1當中，集合A所包含的元素都可以和集合B中的每一個元素建立一一對應的關系，即就是：集合A和集合B之間形成“一一對應”的關系.而在圖2中，通過觀察可知，集合A當中每一個元素都可以在集合B中找到確定的、唯一的對應關系，從而形成“多對一”關系.通過觀察圖3可知，集合A與集合B中的關系能夠在“一對一”與“多對一”關系中建立聯系.經過觀察三個圖可知，集合中都會包含符合條件的映射特征，即就是：任何性、唯一性.教師通過圖形的方式呈現出來，能夠更為簡單、直觀幫助學生認識以及理解映射所代表的含義，這可以為學生進入函數知識的學習奠定良好的基礎.因此，教師需要對映射的呈現方式進行改變，即運用變式教學方式，讓學生能夠運用映射概念進行判斷下列情況是否屬于映射，達到深化學生掌握映射概念目的.

在圖4中，可以觀察到集合A所包含的元素，能夠通過一定的關系f而在B集合中找出對應的映射，其中元素c并沒有在B集合中找到確定的、唯一的對應關系，此時A集合與B集合是“空對空”的關系，因此，可以判斷出和映射含義不相符合，因此，可以得出圖4不屬于映射.在圖5中，A集合所包含的元素通過關系f的作用而在B集合中找出與之對應的關系，但是A集合中的b元素在關系f的作用下可以在B集合中找到兩個對應的關系，因此，這和映射的唯一性特點不相符，也就是說“一對多”關系也不屬于映射.通過觀察圖6可知，均不滿足映射的唯一性也不滿足映射的“任何性”特點，因此，圖6也不屬于映射.綜上分析可知，圖4、5、6 都不屬于映射，這能夠讓學生加深對映概念的理解，無論是“一對一”、“多對一”，還是“空對空”、“一對多”等對應關系均不是映射.

二、通過函數解析式分析變式教學的運用

函數在本質上就是一種解析式.在十八世紀時，數學界在研究函數概念過程中，給出函數一個較為一致的概念：函數就是經過解析式的方式而表達一種特定的關系，通過此概念可知，當時人們對函數的認識就是將函數作為解析式[2].然而，實際上，函數的解析式是通過函數運算方式的轉變，在這種表達中是不利于人們掌握函數參數在運算和幾何形態中的轉變，如轉化為代數形態等.實際上這是對函數認識所存在的一種誤區，其中最為關鍵的一點就是：忽略函數解析式不具備唯一性的特點，即函數可以通過不同解析式進行表達.如：y=x，其中x≥0，而y=-x，其中x<0，通過這一組解析式表達可知，其實際表達的是同一函數概念，由此可知，教師在函數教學中運用變式教學方式，幫助學生更好地掌握函數知識，如教師可以在課堂中進行舉例說明，同時教師要選擇具有典型代表性的例子，使得學生能夠理解例子中所包含的知識，進而實現舉一反三學習函數知識的目的[3].

1運用換元法求解函數的解析式

例1已知函數f（x）的解析式是2x+3，而g（x+2）=f（x），求解g（x）的解析式

解根據題目的已知條件：f（x）=2x+3與g（x+2）=f（x），因此可以得到g（x+2）=2x+3，令x+2=t，那么x=t-2，所以g（t）=2t-1，此時g（x）=2x-1；因此，g（x）的解析式是2x-1.

2運用消元法求解函數的解析式

例2已知一個函數中y=f（x），而f（x）滿足2f（1x）+x，求解函數f（x）解析式

解根據題目中的已知條件：f（x）=2f（1x）+x，運用1x代替x，就可以得到如下的式子：f（1x）=2f（x）+1x，將其和已知的等式聯合在一起，即組成方程組，此時可以消除f（1x），因此，得到f（x）=-x2+23x.

三、結合函數模型進行分析

高中函數實踐教學中，教師可以通過學生對函數模型的認識以及掌握情況而更好地提升學生解答問題的能力[4].

1分段函數

例3專家研究學生注意力，通過課堂時間的變化以及教師講課情況而分析學生注意力的變化情況，如學生在剛才基尼如課堂學習時，注意力較高，而隨著時間推移，學生興趣則會呈現出下降的情況，因此，學生的注意力會隨時間方式變化規律而變化，經過實驗分析得知：

f（t）=-t2+24t+100，0

240，10

-7t+380，20

教師開始講課后在多少時間中學生注意力最集中？

通過分析可知，這些較為復雜的情況通過分段處理的方式而有效解決許多具體的問題，因此，通過分段處理的方式而構造函數模型，更好地滿足函數問題的變化情況.如對例題中的問題進行變式處理：比較教師開始講課后的5分鐘和講課開始前的后5分鐘學生注意力的集中情況？此時就可以在分段函數找到對應的解答問題途徑，從而幫助學生有效面對問題的變式，提升學生解答問題的能力.

2冪函數的模型

例4電壓差是常數下，電流經過圓柱體的電線時，強度I和電線的半徑r3正比，（1）求解函數的解析式；（2）電流經過半徑是4mm電線時，此時的電流強度是320安，求電流的強度表達式.

解根據題目可知：I=kr3且k為常數，解函數的解析式是I=kr3.

由（1）可以得知：320=k×43，所以解得：k=5.電流經過半徑是4mm電線時，此時的電流強度是320安，求電流的強度表達式是I=5r3.

綜上所述，函數教學過程中，教師運用變式教學的方式能夠對從不同的側面有效分析數學問題，一方面能夠為學生理解數學問題帶來良好的幫助，另一方面還能夠對學生的思維帶來一定的啟發，使得學生能夠根據函數的核心知識點，而有效解答變化多端的數學問題.因此，教師在講授函數相關知識過程中，可以通過變式教學的方式而提升學生掌握數學函數知識的能力，從而更好地提升教學質量.

參考文獻：

[1]張衛兵“函數概念與基本初等函數1”中的習題特點分析及教學建議[J]理科考試研究（高中版），2014，21（06）：28

[2]劉婷婷，王貴君符號函數在一些分片函數及其導數計算中的解析表示[J]天津師范大學學報（自然科學版），2013，33（03）：17-21，38

[3]花有清，陳海榮布爾函數的C偏導數及其在冗余函數檢測中的應用[J]科技通報，2016，32（09）：1-4，25