試分析復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

吳圳河

摘 要： 現(xiàn)階段，在高中時(shí)期的數(shù)學(xué)課程之中，復(fù)數(shù)屬于一塊必要內(nèi)容。最近幾年，有關(guān)復(fù)數(shù)的高考試題整體難度得到了一定降低，而且復(fù)數(shù)知識(shí)更多的是以補(bǔ)充的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)。盡管如此，復(fù)數(shù)依然在解高中時(shí)期的數(shù)學(xué)問題當(dāng)中有著重要應(yīng)用。基于此，本文在對(duì)復(fù)數(shù)概念加以具體概述的基礎(chǔ)上，深入探究解高中時(shí)期數(shù)學(xué)問題當(dāng)中復(fù)數(shù)知識(shí)的具體應(yīng)用，以期對(duì)高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的解題教學(xué)予以相應(yīng)指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué);復(fù)數(shù);解題訓(xùn)練

和其他模塊數(shù)學(xué)知識(shí)相比，復(fù)數(shù)知識(shí)具有非常強(qiáng)的實(shí)用性，但是多數(shù)學(xué)生對(duì)此并無意識(shí)，其僅僅認(rèn)為復(fù)數(shù)知識(shí)具有很大的理解難度，而且解題期間的準(zhǔn)確率較低。而在新課改有關(guān)要求之下，對(duì)復(fù)數(shù)有關(guān)內(nèi)容加以探索，同時(shí)深入分析復(fù)數(shù)在解高中時(shí)期數(shù)學(xué)問題當(dāng)中的具體運(yùn)用有著較大現(xiàn)實(shí)意義。

一、 關(guān)于復(fù)數(shù)的概述

高中生對(duì)于實(shí)數(shù)運(yùn)算法則比較熟悉，而以實(shí)數(shù)為基礎(chǔ)，增加i，同時(shí)將其記為a+i，之后用一個(gè)實(shí)數(shù)b和i相乘，同時(shí)記為bi，把兩則運(yùn)算進(jìn)行相加，便得復(fù)數(shù)形式a+bi。在這之中，a和b是實(shí)數(shù)。

一般來說，學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行認(rèn)識(shí)可以分成兩個(gè)階段。第一，復(fù)數(shù)產(chǎn)生在數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域，在對(duì)三次方程加以求解期間對(duì)負(fù)數(shù)的開平方這種形式進(jìn)行了發(fā)現(xiàn)，同時(shí)不少三次方程具有的三個(gè)實(shí)根是客觀存在的。這就和人們以前認(rèn)知產(chǎn)生矛盾，而為對(duì)這一問題進(jìn)行解釋，人們于是引入復(fù)數(shù)概念。第二，人們發(fā)現(xiàn)，對(duì)平面旋轉(zhuǎn)這一運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究之時(shí)，復(fù)數(shù)和其運(yùn)算可以為其構(gòu)建有效模型，進(jìn)而使得復(fù)數(shù)理論得到人們認(rèn)知以及重視。而且，復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)一樣，同樣擁有四則運(yùn)算，然而其計(jì)算具體形式以及結(jié)果內(nèi)涵卻和實(shí)數(shù)不同。i僅為虛數(shù)單位，人們還規(guī)定了i 2=-1。

二、 解高中時(shí)期數(shù)學(xué)問題當(dāng)中復(fù)數(shù)的應(yīng)用

（一） 借助復(fù)數(shù)求解函數(shù)值

解高中數(shù)學(xué)當(dāng)中函數(shù)問題之時(shí)，借助復(fù)數(shù)有關(guān)知識(shí)求函數(shù)值域，可以使得解題難度得以降低，提升學(xué)生的解題效率以及準(zhǔn)確率。

例如，已知x是實(shí)數(shù)，求函數(shù)y= x 2+x+1 - x 2-x+1 的值域。

分析：按照題設(shè)當(dāng)中已知條件，根據(jù)常規(guī)方法對(duì)函數(shù)值域進(jìn)行求解，需要先把函數(shù)具有的定義域求出來，之后在借助函數(shù)有關(guān)性質(zhì)求函數(shù)值域。這個(gè)過程較為復(fù)雜，而且在計(jì)算期間極易出現(xiàn)錯(cuò)誤。然而若是借助復(fù)數(shù)知識(shí)對(duì)該問題進(jìn)行求解，則解題過程便會(huì)得到簡(jiǎn)化。

解：由于y= x 2+x+1 - x 2-x+1 ，可將其簡(jiǎn)化成：

y= （x+ 1 2 ） 2+（? 3? 2 ） 2 - （x- 1 2 ） 2+（? 3? 2 ） 2

之后根據(jù)此來構(gòu)造復(fù)數(shù)：

z1=（x+ 1 2 ）+? 3? 2 i，z2=（x- 1 2 ）+? 3? 2 i

之后再按照復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，能夠得到：y=|z1|-|z2|。

由于||z1|-|z2||≤|z1|-|z2|=|（x+ 1 2 ）+? 3? 2 i-（x- 1 2 ）+? 3? 2 i|=1，

當(dāng)且僅當(dāng)z1=kz2之時(shí)可以取等號(hào)，然而明顯有z1≠kz2，其中k為實(shí)數(shù)。

因此有||z1|-|z2||≤1，因此-1

（二） 三角函數(shù)當(dāng)中復(fù)數(shù)的應(yīng)用

因?yàn)閺?fù)數(shù)可表示為z=r（cosθ+isinθ）這種形式，同時(shí)還存在歐拉公式：

r（cosθ+isinθ）=re iθ，進(jìn)而有：

（1） argz1z2=argz1+argz2，arg z1 z2 =argz1-argz2

（2） （cosθ+isinθ） n=cosnθ+isinnθ

因此三角函數(shù)當(dāng)中不少問題全都可借助復(fù)數(shù)進(jìn)行求解。

綜上可知，在解高中時(shí)期的數(shù)學(xué)問題之時(shí)經(jīng)常對(duì)會(huì)復(fù)數(shù)有關(guān)知識(shí)加以運(yùn)用，不管是對(duì)三角函數(shù)的等式加以證明，求函數(shù)值，還是進(jìn)行復(fù)數(shù)類的計(jì)算時(shí)，全都能對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)加以運(yùn)用。由此可見，復(fù)數(shù)知識(shí)是解高中時(shí)期的數(shù)學(xué)問題的重要工具。

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