數形結合思想在高中數學教學中的應用

摘 要：數形結合是數學課程中一種常用的思想，指的是通過數和形之間的對應關系將抽象的數學語言和關系直觀化、形象化，進而實現以形助數、以數解形的效果，將復雜的數學問題變得簡單。本文對數形結合思想在高中數學教學過程中的具體應用進行了分析，以供參考。

關鍵詞：數形結合思想；高中數學；應用

一、 數形結合思想概述

1. 數形結合思想的內涵

數形結合思想是高中數學教學中的一種重要方法，將數量關系和空間圖形模式、抽象理論與形象思維有機結合起來，形成更為簡單、直觀的知識關系，幫助教師有效地分析與轉化教學過程中的重點和難點，促進學生更加容易理解抽象、晦澀的數學知識，進而提高學生對數學知識的靈活運用能力。在高中數學教學中，數形結合思想的應用范圍非常廣泛，例如不等式求解、三角函數、幾何等內容的教學與解題都可以通過數形結合思想的應用起到良好的效果。所以，高中數學教師要有意識的加強對數形結合思想的滲透并充分發揮學生的主體作用，幫助他們更好地理解和應用數學知識。

2. 數形結合思想的應用原則

數形結合思想在高中數學教學中數與形的相互轉化過程中要遵循相應的知識應用與方法，假如對數形結合思想的基本知識和應用原則了解不清楚，則很容易出現錯誤。因此，在應用數形結合思想時要遵循以下原則。第一，等價性原則。數形結合思想的應用首先要遵循等價性原則，即數、形的關系要一一對應，注意等價轉換，避免對定義域的隨意擴大或者縮小，尤其是畫圖時要注意確保數軸、交點、最大值、最小值等的精確性。第二，雙向性原則。將幾何直觀分析和代數計算有機結合起來，以形助數，以數解形，用直觀的幾何圖形作為抽象公式的具體體現，并用精確的代數進一步規范化幾何圖形。第三，簡單性原則。在應用數形結合思想進行數學教學和解題的過程中應盡量簡單化，例如由數到形的變換時盡量構造簡單的圖形，由形到數時盡量避免繁瑣的運算，將數學知識的理解和應用變得更加容易。

二、 數形結合思想在高中數學教學中的應用方法

第一，由數變形。在數學教學過程中有些內容過于抽象晦澀，通過代數方法難以幫助學生有效地理解和應用知識，或者用于解題的方式較為復雜，而數形結合思想能夠通過數與形之間的對應關系實現從數到形的轉化，更加直觀明了、簡單形象。一般來說，將數量問題向圖形問題的轉化通過平面幾何知識、立體幾何知識以及解析幾何知識這三種方式來實現，接著對轉化出的圖形進一步分析、推理。由數變形的解題應用思路可以總結為以下幾點：首先，教師引導學生明確題目的要求和所求結果；其次，對已給的條件進行分析觀察，確定是否可以借助所學的公式、圖形的表達式進行歸類；最后，構造出相應的圖形，并結合圖形的性質、意義等對所求問題進行分析。

第二，以形變數。遇到需要定量或者較為復雜的圖形問題時可以將圖形問題轉化為代數問題，即實現以形變數。以形變數的應用通常采用以下幾個步驟：第一，引導學生明確題目的要求和目標，并把握其特點和性質；第二，對題目中的條件和所求目標的幾何意義進行分析；第三，用代數式準確地表達出所給圖形的內涵，并根據相關公式、定理等完成題目的求解。

第三，數形互變。數形互變是將由數變形和以形變數這兩種數形結合思想應用的方式有效結合起來進行知識的理解、題目的解答。通常一個數學題目的解答不僅僅要采用一種數學方法，而是要結合兩種甚至幾種數學方法的綜合運用，數形互變是對數形結合思想的靈活運用，但是要求學生對數變形時的直觀和以形變數的嚴密進行熟練的掌握，能夠快速分析和把握數學題目中數和形的關系以及其中的隱含條件，從而能夠見形思數，見數變形。

三、 數形結合思想在數學教學過程中的具體應用

1. 數形結合思想在集合問題中的應用

例如在下面的集合題目中，已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）<0，x∈Z}，試求A∪B?？梢愿鶕阎獥l件求得集合B={x|-1

2. 數形結合思想在統計問題中的應用

在統計問題中經常會要求學生根據給出的具體數據，判斷出變量之間的關聯，而當學生在統計和計算比較龐大的數據量時，逐個進行計算不但速度慢而且容易引起學生的抵觸和畏難心理，利用數形結合的思想方法則能夠有效解決這一問題。引導學生通過將搜集得到的數據畫成散點圖，能夠不用通過計算即可得知這變量之間的關系，例如在圖像中各數據點如果大致分布在一條直線附近，則可以準確推斷變量之問呈線性相關關系。通過數形結合的思想方法能夠大大優化計算過程，提高學習效率。

3. 數形結合思想在向量問題中的應用

向量是高中數學教學的一項重要內容，其本身具有一定的幾何意義，即利用向量對集合對象進行描述。教師通過將數形結合的思想方法運用在具體的向量教學當中，能夠在引導學生正確認識向量數量積的同時，幫助其準確掌握向量的實際幾何意義，從而立足于向量的代數性質，完成對幾何對象的描述。例如，在下面的向量問題中：已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，試求l與n的位置關系。在這一題當中考查的正是相等向量與相反向量以及空問平行與垂直位置關系的判定，學生通過繪制出相應的圖形并用向量將已知條件表明出來便能夠直觀地認識到這兩條直線為垂直關系。

四、 結束語

數形結合思想是高中數學教學過程中常用的思想方法，通過圖形和數量關系的有機結合，幫助學生更加容易直觀地理解和應用數學知識。因此，作為高中數學教師，要引導學生熟練掌握這一方法，靈活地運用數形結合思想解決相關數學難題，提高數學的學習效率。

參考文獻：

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作者簡介：李自芹，云南師范大學數學學院，云南省德宏州民族第一中學。