凸函數的性質及應用

摘要：本文首先對凸函數的有關概念進行闡述，然后對凸函數的運算性質進行簡要分析，最后通過舉例的方式對凸函數的具體應用進行了重點探討。

關鍵詞：凸函數；運算；應用

在高等數學課程學習中，當運用導數對函數性態進行探討時，往往遇到凸函數。凸函數是一種特殊函數，其具有一些性質能對某些初等不等式、函數不等式及積分不等式進行簡單證明。下面就對凸函數的性質及其應用展開詳細探討。

一、 凸函數的有關概念

定義1若函數f（x）對于區間（a，b）內的任意x1，x2以及λ∈（0，1），恒有

f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f（x）為區間（a，b）上的凸函數。

二、 凸函數的運算性質

性質1若f（x）為區間I上的凸函數，k為非負實數，則kf（x）也為區間I上的凸函數。

性質2若f（x），g（x）均為區間I上的凸函數，則f（x）+g（x）也為區間I上的凸函數。

推論若f（x），g（x）均為區間I上的凸函數，k1，k2為非負實數，則k1f（x）+k2g（x）也為區間I上的凸函數。

性質3若f（x）為區間I上的凸函數，g（x）為J上的凸增函數，且f（I）J，則g·f為區間I上的凸函數。

性質4若f（x），g（x）均為區間I上的凸函數，則F（x）=max{f（x），g（x）}也是區間I上的凸函數。

上述性質很容易證明，故在此省略。

三、 凸函數的應用

在學習初等數學與數學分析時，證明不等式是一項關鍵的學習內容，通過對凸函數理論的應用，能有效簡化許多不等式的證明過程。下面具體分析：

例1求證：對任意實數a，b，有ea+b2≤12（ea+eb）。

證明設f（x）=ex，則f″（x）≥0，x∈（-∞，+∞）故f（x）=ex 為（-∞，+∞）上的凸函數。從而對x1=a，x2=b，λ=12有定義

fx1+x22≤12[f（x1）+f（x2）]。

即得

ea+b2≤12（ea+eb）。

注：該題構造函數，運用凸函數的定義很容易就能導出結果。

例2設0

證明設f（x）=（1+x）1-a（1-xa）（0

那么f′（x）=（1-a）（1+x）-a（1-xa）+（1+x）1-a（-axa-1），

f″（x）=-a（1-a）（1+x）-1-a（1-xa）-a（1-a）（1+x）-axa-1-a（1-a）（1+x）-axa-1-a（1-a）（1+x）1-axa-2=-a（1-a）（1+x）-1-a[（1-xa）+（1+x）xa-1+xa-1（1+x）-（1+x）2xa-2]=-a（1-a）（1+x）-1-a（1-xa-2）=a（1-a）（1+x）-1-a（xa-2-1）。

于是，當00，由嚴格凸函數的定義，其中λ=x，x1=1，x2=0，得f（x）=f[x·1+（1-x）·0]

即（1+x）1-a（1-xa）<1-x。

注：該題運用了定理1及推論1的結論。

例3在△ABC中，證明

sinA+sinB+sinC≤332。

證明 令f（x）=-sinx，x∈（0，π），f″（x）=sinx>0，x∈（0，π）由應用2得f（A）+f（B）+f（C）3≥FA+B+C3，即

sinA+sinB+sinC≤sinA+B+C3≤sinπ3=32，

所以sinA+sinB+sinC≤332。

例4設a1、a2、…、an均為正數，且a1+a2+…+an=1。求證：

a1+1a12+a2+1a22+…+an+1an2≥（1+n2）2n。

證明因為f（x）=x2是凸函數，由凸函數的性質有

a1+1a12a2+1a22+…+an+1an2

≥na1+1a1+a2+1a2+…+an+1ann2

=1n1+1a1+1a2+…+1an2。（1）

由柯西不等式：∑ni=1ai2·∑ni=1bi2≥∑ni=1aibi2得

1a1+1a2+…+1an=1a1+1a2+…+1an·1 =1a1+1a2+…+1an（a1+a2+…+an）≥n2，

∴1a1+1a2+…+1an≥n2，由（1））即得

a1+1a12a2+1a22+…+an+1an2≥（1+n2）2n。

參考文獻：

[1] 華東師范大學數學系編.數學分析上第三版[M].北京：高等教育出版社，2001：148-154.

[2] 李惜雯.數學分析例題解析及難點注釋（上冊）[M].西安：西安交通大學出版社，2004，1：265-269.

作者簡介：陳飛翔，重慶市重慶三峽學院數學與統計學院。