利用APOS理論透視無(wú)理數(shù)的概念教學(xué)

張夢(mèng)婷 劉云

摘 要 概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而對(duì)概念的理解則是教學(xué)中的重點(diǎn)。以人教版七年級(jí)下冊(cè)無(wú)理數(shù)的概念為例，運(yùn)用APOS理論的四個(gè)階段對(duì)其教學(xué)過(guò)程進(jìn)行分析，基于A(yíng)POS理論歸納出概念教學(xué)的一般模式，其分為四個(gè)階段：活動(dòng)、程序、對(duì)象、圖式。

關(guān)鍵詞 APOS理論；無(wú)理數(shù)；數(shù)學(xué)概念；概念教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G652 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2018）14-0080-03

Using APOS Theory to Perspective Concept Teaching of Irra-tional Numbers//ZHANG Mengting， LIU Yun

Abstract Concept is the basis of learning mathematics， and under-standing of concepts is the focus of teaching. The author who teaches

the concept version of grade seven irrational number as an example， using the four stages of APOS theory to analyze the teaching process，

APOS theory summed up the general model based on the concept of teaching， which is divided into four stages： activity， process， object and schema.

Key words APOS theory； irrational number； mathematical concept； concept teaching

1 引言

無(wú)理數(shù)的教學(xué)安排在人民教育出版社七年級(jí)下冊(cè)第六章“實(shí)數(shù)”的探究部分。相對(duì)于有理數(shù)，無(wú)理數(shù)是一個(gè)經(jīng)常被人們忽視的知識(shí)點(diǎn)，所以大多數(shù)學(xué)生對(duì)于無(wú)理數(shù)的掌握僅僅停留在運(yùn)算上，只會(huì)做題，不能理解其概念的本質(zhì)屬性。在實(shí)施素質(zhì)教育的今天，不能只注重做題技能的訓(xùn)練，還應(yīng)該順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知，讓學(xué)生明確無(wú)理數(shù)概念的本質(zhì)。

APOS理論是在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀(guān)下提出的有關(guān)概念學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。經(jīng)過(guò)皮亞杰反思性抽象的擴(kuò)展，APOS理論認(rèn)為理解數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷四個(gè)階段：A—Action（活動(dòng)），P—Process（程序），O—Object（對(duì)象），S—Schema（圖式）。那么該如何將這一理論運(yùn)用到無(wú)理數(shù)的教學(xué)中去呢？本文以無(wú)理數(shù)的教學(xué)為例，展示APOS理論在概念教學(xué)中的應(yīng)用。

2 AOPS理論下的無(wú)理數(shù)教學(xué)過(guò)程

第一階段：活動(dòng) 活動(dòng)是指通過(guò)一個(gè)個(gè)外部行為去變換一個(gè)客觀(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象。它是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過(guò)活動(dòng)讓學(xué)生親自感受到外部刺激，從而更好地引入新概念。這里的活動(dòng)泛指所有的數(shù)學(xué)活動(dòng)，包括實(shí)驗(yàn)、猜想、推理、論證等。在無(wú)理數(shù)教學(xué)中，可設(shè)計(jì)如下活動(dòng)：

古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為世界上的一切量都是可以用數(shù)（有理數(shù)）來(lái)表示的觀(guān)點(diǎn)被他的弟子希伯索斯（Hippasus）

否定了，希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)是不可以用有理數(shù)來(lái)表示的。那肯定有一種與有理數(shù)不同的數(shù)真實(shí)存在著，那么這個(gè)數(shù)到底是誰(shuí)？我們順著古人的思路一起來(lái)探究一下。請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手操作一下可不可以用兩個(gè)面積為1 dm2的小正方形拼成一個(gè)面積為2 dm2的大正方形？（讓學(xué)生動(dòng)手剪一剪、湊一湊。）

如圖1所示，教師引導(dǎo)學(xué)生將兩個(gè)面積為1 dm2的小正方形沿著對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，得到四個(gè)直角三角形，將這四個(gè)直角三角形湊在一起，就形成一個(gè)面積為2 dm2的大正方形。根據(jù)正方形面積公式和算數(shù)平方根的知識(shí)，抽象概括出代數(shù)式x2=2，從而知道大正方形的邊長(zhǎng)（即小正方形的對(duì)角線(xiàn)）為 dm。

根據(jù)有理數(shù)的概念，分?jǐn)?shù)和整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。事實(shí)上，找不到一個(gè)分?jǐn)?shù)或是整數(shù)來(lái)代替，不能用分?jǐn)?shù)或是整數(shù)來(lái)表示，即它不是有理數(shù)。那么可不可以用有理數(shù)來(lái)近似地表示它，從而來(lái)近似確定它的大小呢？

因?yàn)?2=1，22=4，所以1<<2；

因?yàn)?.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4<<1.5；

因?yàn)?.412=1.988 1，1.422=2.016 4，所以1.41<<1.42；

因?yàn)?.4142=1.999 396，1.4152=2.002 225，所以1.414<<1.415；

……

這樣就得到的近似值，那它的近似數(shù)會(huì)一直無(wú)限不循環(huán)下去嗎？

第二階段：程序 當(dāng)活動(dòng)經(jīng)過(guò)反復(fù)多次重復(fù)，被個(gè)體熟悉之后，就可以?xún)?nèi)化為一種程序的心理操作。內(nèi)化是理解所感受到的現(xiàn)象的一種心理過(guò)程。學(xué)生對(duì)活動(dòng)進(jìn)行反復(fù)思考，尋找事物的共同屬性，并且通過(guò)實(shí)例進(jìn)行假設(shè)、驗(yàn)證，抽象出概念所特有的屬性，從而形成概念。

在無(wú)理數(shù)教學(xué)中，為讓學(xué)生獲得無(wú)理數(shù)的本質(zhì)屬性，先讓學(xué)生利用計(jì)算器得到=1.414 213 562 3，然后提問(wèn)：1.414 213 562 3是還是的近似數(shù)？這時(shí)有的學(xué)生可能會(huì)覺(jué)得不會(huì)一直循環(huán)下去，這個(gè)小數(shù)應(yīng)該就是。教師再提問(wèn)：請(qǐng)同學(xué)們利用算數(shù)平方根的知識(shí)計(jì)算一下

1.414 213 562 3的平方，你能發(fā)現(xiàn)什么？最終學(xué)生計(jì)算的結(jié)果是等于1.999 999 688 7，所以化為小數(shù)會(huì)一直不循環(huán)下去，教師告訴學(xué)生它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。很多正有理數(shù)的算數(shù)平方根（，，等）都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。接下來(lái)又利用計(jì)算器計(jì)算了，，，發(fā)現(xiàn)它們的近似值都是一些無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。這是以前沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的一類(lèi)數(shù)，其實(shí)從這里已經(jīng)初步得到無(wú)理數(shù)的概念。

第三階段：對(duì)象 個(gè)體從整體上把握一個(gè)程序，把它作為一個(gè)整體進(jìn)行變換，這一變換就變成一種心理對(duì)象。通過(guò)前面的抽象認(rèn)識(shí)到概念的本質(zhì)屬性，并將這一概念賦予精確化的定義或是符號(hào)，成為一個(gè)明確的整體對(duì)象，然后再對(duì)這個(gè)對(duì)象進(jìn)行更上一層次的活動(dòng)。

在無(wú)理數(shù)的教學(xué)中，經(jīng)過(guò)活動(dòng)和程序這兩個(gè)階段，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到無(wú)理數(shù)得到的數(shù)學(xué)過(guò)程，可以繼續(xù)通過(guò)探究將這個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程對(duì)象化：知道有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，請(qǐng)把下面的有理數(shù)寫(xiě)成小數(shù)的形式，看看你發(fā)現(xiàn)了什么？

上面的分?jǐn)?shù)和整數(shù)都是有理數(shù)，都可以化為有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式，由此得出無(wú)理數(shù)的概念，即無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫作無(wú)理數(shù)。動(dòng)畫(huà)演示：在數(shù)軸上利用圓的滾動(dòng)畫(huà)出π=3.141 592 65…。所以數(shù)軸上的點(diǎn)和無(wú)理數(shù)也是一一對(duì)應(yīng)著。

教師引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上可以表示無(wú)理數(shù)和-，得出無(wú)理數(shù)有正有負(fù)，那么自然也就存在相反數(shù)和絕對(duì)值。

為了學(xué)生全面理解無(wú)理數(shù)的概念，教師應(yīng)該呈現(xiàn)不同形式的無(wú)理數(shù)給學(xué)生看。

1）開(kāi)不盡的數(shù)：……

2）負(fù)無(wú)理數(shù)：……

3）超越數(shù)：π，e，lg2，……

4）無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：4.121 121 112 111 12……

此外，由于×=2，÷=1，-=0，+（-）=0，無(wú)理數(shù)之間進(jìn)行加減乘除運(yùn)算的結(jié)果可能不是無(wú)理數(shù)，因此，無(wú)理數(shù)的運(yùn)算是不封閉的。

第四階段：圖式 圖式的建立是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，孤立的一個(gè)數(shù)學(xué)概念是毫無(wú)意義的，學(xué)生要在不斷的學(xué)習(xí)和練習(xí)過(guò)程中，將新概念與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)，在頭腦中形成一個(gè)心智結(jié)構(gòu)，而這一心智結(jié)構(gòu)就是所謂的圖式。

教學(xué)中經(jīng)過(guò)活動(dòng)、程序、對(duì)象的教學(xué)順序?qū)o(wú)理數(shù)進(jìn)行了探究，根據(jù)學(xué)生的心理認(rèn)知來(lái)構(gòu)建新的知識(shí)——無(wú)理數(shù)。這使得學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)又上了一個(gè)新的臺(tái)階，將有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)，就可以建立起一個(gè)與無(wú)理數(shù)有關(guān)的圖式，如圖2所示。

1）考查對(duì)無(wú)理數(shù)概念的掌握，會(huì)區(qū)分有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。

【例1】下面的數(shù)是無(wú)理數(shù)的有哪些？

0.484 484 448…，，3.141 592 6，，-11，，0，，，，2.020 020 002，，

【解析】①有的學(xué)生過(guò)于浮躁，會(huì)認(rèn)為是無(wú)理數(shù)，因?yàn)閷⑦@個(gè)數(shù)化為小數(shù)時(shí)，化到小數(shù)點(diǎn)后面10位都不循環(huán)，就認(rèn)為它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，進(jìn)而認(rèn)為它是一個(gè)無(wú)理數(shù)。事實(shí)上，是一個(gè)分?jǐn)?shù)，而分?jǐn)?shù)和整數(shù)都是有理數(shù)，所以應(yīng)該是有理數(shù)。

②有的學(xué)生認(rèn)為3.141 592 6是π，所以是無(wú)理數(shù)，其實(shí)是平時(shí)背π只背到小數(shù)點(diǎn)后面幾位，形成定式思維，帶來(lái)錯(cuò)誤判斷。

③由于粗心大意，有的學(xué)生認(rèn)為是對(duì)9開(kāi)平方等于3，因此誤判它為有理數(shù)。

④對(duì)于，有的學(xué)生簡(jiǎn)單認(rèn)為只要帶有根號(hào)的數(shù)就是無(wú)理數(shù)，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到是開(kāi)不盡的數(shù)才稱(chēng)之為無(wú)理數(shù)。

⑤看著是個(gè)分?jǐn)?shù)的形式就判斷它為有理數(shù)，但是不滿(mǎn)足分?jǐn)?shù)的定義，即分子分母都必須為整數(shù)。

因此，無(wú)理數(shù)有{0.484 484 448…，，，，，}

2）能用有理數(shù)估計(jì)無(wú)理數(shù)。

【例2】與1+最接近的整數(shù)是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】利用逼近法，選B。

3）考查有關(guān)無(wú)理數(shù)的大小比較問(wèn)題。

【例3】估計(jì)與0.5比哪個(gè)大？與1.0比呢？

【解析】對(duì)于有關(guān)無(wú)理數(shù)比大小的問(wèn)題主要有四種方法：比較被開(kāi)方數(shù)；平方法；移動(dòng)因式法；作差法。對(duì)于這道題可采用作差法。

因?yàn)?0.5=>0，所以>0.5。

因?yàn)?lt;0，所以<1.0。

3 基于A(yíng)POS理論的一般概念教學(xué)模式

APOS理論的四個(gè)階段清楚地指出學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的不同層次水平，符合學(xué)生對(duì)概念認(rèn)知的心理發(fā)展規(guī)律。基于這個(gè)理論的活動(dòng)、程序、對(duì)象、圖式四個(gè)階段，筆者歸納出一般概念教學(xué)的基本模式。

概念產(chǎn)生背景或創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀(guān)認(rèn)為，學(xué)習(xí)是在一定情境中發(fā)生的。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，教師可以提供一些與新概念有關(guān)的感性材料對(duì)學(xué)生進(jìn)行一個(gè)外部刺激，但是這些感性材料要有典型性、針對(duì)性、趣味性。就像無(wú)理數(shù)的教學(xué)，教師可以簡(jiǎn)單和學(xué)生敘述一下無(wú)理數(shù)的歷史，讓學(xué)生對(duì)這一類(lèi)新的數(shù)產(chǎn)生興趣；接著讓學(xué)生親自動(dòng)手用兩個(gè)小正方形去拼成一個(gè)大正方形，利用學(xué)生已有的開(kāi)根號(hào)的知識(shí)引出一個(gè)具體的無(wú)理數(shù)，這為后面的學(xué)習(xí)做了很好的鋪墊。

尋找共同屬性，獲得概念 概念的獲得通常有兩種方式：概念形成和概念同化。概念形成是指通過(guò)大量的具體例子，歸納出這一類(lèi)事物的共性，從而得出數(shù)學(xué)概念。這是一個(gè)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程。概念同化是指將新的概念與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互聯(lián)系，將這個(gè)新事物同化到已有的概念體系中去。這是一個(gè)接受學(xué)習(xí)的過(guò)程。概念的同化可以讓新概念獲得意義，同時(shí)擴(kuò)大和加深原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

在探究無(wú)理數(shù)的概念時(shí)，首先從出發(fā)，發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，并且有好多有理數(shù)開(kāi)根號(hào)結(jié)果都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。通過(guò)這些實(shí)例得出無(wú)理數(shù)的一個(gè)共同屬性就是它們化為小數(shù)時(shí)，小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)的，這屬于概念形成。

揭示概念本質(zhì) 對(duì)于概念的理解，講清楚定義只是第一步，還要對(duì)定義進(jìn)行進(jìn)一步剖析。這樣學(xué)生才能對(duì)概念進(jìn)行升華，而不僅僅只是停留在語(yǔ)言描述層次。韜爾曾經(jīng)提出過(guò)“過(guò)程性概念”這一名詞。如“6+7”，從過(guò)程角度看它是一個(gè)相加的過(guò)程，但從過(guò)程性概念的角度看它卻代表和。前者是一個(gè)動(dòng)態(tài)的操作，后者是一個(gè)靜態(tài)的整體對(duì)象。

過(guò)程性概念的發(fā)展經(jīng)過(guò)了前程序—程序—過(guò)程—過(guò)程性概念。當(dāng)某個(gè)過(guò)程經(jīng)過(guò)心理壓縮和符號(hào)化而變成一個(gè)對(duì)象（過(guò)程性概念）時(shí)，學(xué)生就能在過(guò)程和概念之間靈活地轉(zhuǎn)換。在對(duì)象這一層次上，學(xué)生可以把過(guò)程作為一種心理操作。無(wú)理數(shù)在數(shù)軸上表示得出了無(wú)理數(shù)的一些性質(zhì)，無(wú)理數(shù)有正負(fù)之分，有絕對(duì)值、相反數(shù)等，此時(shí)將無(wú)理數(shù)系統(tǒng)化，將其變成一個(gè)完整的對(duì)象，提到無(wú)理數(shù)可以快速知道它的定義、性質(zhì)。同時(shí)還要明確概念表征的多元性，對(duì)于無(wú)理數(shù)的表示方法，可以是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)、開(kāi)不盡的數(shù)、超越數(shù)等。

概念的遷移與應(yīng)用 概念的遷移是學(xué)生將新概念與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行聯(lián)結(jié)，或是對(duì)新概念進(jìn)行拓展延伸。當(dāng)下流行的一種理解概念的重要手段就是畫(huà)概念圖。概念圖能將各個(gè)知識(shí)之間的相鄰關(guān)系、對(duì)立關(guān)系、交叉關(guān)系、并列關(guān)系很好地展示出來(lái)。概念的應(yīng)用是拿這個(gè)概念去解決問(wèn)題。通過(guò)用一些典型的例子讓學(xué)生訓(xùn)練，在應(yīng)用中強(qiáng)化概念的理解，促進(jìn)概念系統(tǒng)的建構(gòu)。

4 結(jié)語(yǔ)

基于A(yíng)POS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式體現(xiàn)的是學(xué)生的外部感知由淺及深一步步得到抽象的數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，這一規(guī)律符合學(xué)生的心理發(fā)展。這種教學(xué)方法能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。但有時(shí)候?qū)τ跀?shù)學(xué)概念的理解并不嚴(yán)格遵循APOS四個(gè)階段的這種線(xiàn)性的途徑，比如在無(wú)理數(shù)概念教學(xué)中，程序和對(duì)象階段也會(huì)有活動(dòng)的影子，所以四個(gè)階段之間還會(huì)存在一種循環(huán)參考文獻(xiàn)

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