一類不定方程正整數(shù)解的思考探究

王群亮+劉艷

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力是數(shù)學(xué)教育工作者的一個(gè)重要目標(biāo)，也是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革的重要方向。本文筆者通過自身教學(xué)改革實(shí)踐，對(duì)不定方程部分有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新思維，針對(duì)不定方程正整數(shù)解的問題進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，經(jīng)過仔細(xì)思考與推敲之后，對(duì)一類不定方程的正整數(shù)解的問題進(jìn)行設(shè)計(jì)和證明。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；創(chuàng)新能力；不定方程；正整數(shù)解

本文主要是作者在《整數(shù)論》教學(xué)過程中，對(duì)于講授不定方程有關(guān)內(nèi)容，為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行大膽的嘗試，針對(duì)不定方程正整數(shù)解的問題進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，經(jīng)過仔細(xì)思考與推敲之后，對(duì)下面給出的一類不定方程的正整數(shù)解的問題進(jìn)行設(shè)計(jì)和證明。以下是作者設(shè)計(jì)的二元三次不定方程的一般形式，即：

a1x3+a2x2+a3x+a4y3+a5y2+a6y+a7=0

對(duì)其中的比較簡單的形式進(jìn)行了研究和討論，并在此基礎(chǔ)上給予了相關(guān)證明。設(shè)計(jì)的問題如下：求證：當(dāng)y為奇數(shù)時(shí)，不定方程4x3-2x2+x-y2=0沒有正整數(shù)解。

證明：不妨假設(shè)上面的不定方程有正整數(shù)解，設(shè)x=k，y=m使上式成立，代入原式得，4k3-2k2+k-m2=0，進(jìn)行移項(xiàng)變形得m2=4k3-2k2+k=k（4k2-2k+1）

又必有k=i2

[否則，設(shè)k=i1x1i2x2…ijxj（其中，i1，i2，…，ij為質(zhì)數(shù)，x1，x2，…，xj為所對(duì)應(yīng)的質(zhì)數(shù)的次數(shù)），則必在x1，x2，…，xj中至少存在一個(gè)xk為奇數(shù)，使k≠i2。亦即存在一個(gè)ik的質(zhì)數(shù)，并且有ik（4k2-2k+1）（因?yàn)閙2=k（4k2-2k+1）的左邊是m2，所以右邊的含有質(zhì)數(shù)ik的次數(shù)xk必是偶數(shù)，這樣就可以肯定（4k2-2k+1）必能被ik整除，而由ik（4k2-2k）（因?yàn)?，ikk，k4k2-2k，所以就有ik（4k2-2k）），同時(shí)就可以知道ik不能整除4k2-2k+1（原因是：若ik（4k2-2k+1），則可設(shè)4k2-2k=A·ik，

于是有4k2-2k+1=A·ik+1，

再設(shè)4k2-2k+1=B·ik（由于ik（4k2-2k+1）），所以就有A·ik+1=B·ik，即

（B-A）ik=1，也就是有ik1（這與ik是質(zhì)數(shù)矛盾）），所以必有k=i2]。

又因?yàn)閙為奇數(shù)（已知y為奇數(shù)）而m2=4k3-2k2+k=k（4k2-2k+1），所以k必為奇數(shù)。

于是有4k2-2k+1，當(dāng)k取奇數(shù)時(shí)，其值情況如下：4×12-2×1+1=3，4×32-2×3+1=31，4×52-2×5+1=91，4×72-2×7+1=183，4×92-2×9+1=307，4×112-2×11+1=463，4×132-2×13+1=651，4×152-2×15+1=871，4×172-2×17+1=1123，4×192-2×19+1=1407

由上面可以觀察到這樣的規(guī)律：4k2-2k+1的末尾數(shù)字是1，3，7的結(jié)論。（理論上是：根據(jù)4k2-2k+1末尾數(shù)字只與k的個(gè)位數(shù)字有關(guān)，而k的個(gè)位數(shù)字只可能為1，3，5，7，9。得出4k2-2k+1的末尾數(shù)字為3，1，1，3，7，并且按此順序重復(fù)出現(xiàn)）

因?yàn)?，m2=k（4k2-2k+1），又由上面證得k=i2，所以必有4k2-2k+1=j2，所以j必為奇數(shù)，亦即其末尾數(shù)字只可能是1，3，5，7，9。于是，j2的末尾數(shù)字可能為1，9，5，9，1，并且按此規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)。所以，只有當(dāng)都出現(xiàn)末尾數(shù)字為1時(shí)才有可能使4k2-2k+1=j2。又因?yàn)?k2-2k+1的末尾數(shù)字為1時(shí)，k的末尾數(shù)字必須是3或5，而又因?yàn)閗=i2，i是奇數(shù)，i2的末尾數(shù)字也只可能是1，9，5，9，1。所以，k只能取末尾數(shù)字為5的奇數(shù)，才能使4k2-2k+1和j2的末尾數(shù)字相同，并且都是1。

于是，把問題轉(zhuǎn)化到了4k2-2k+1=j2是否在末尾數(shù)字都是1時(shí)成立上。因?yàn)榍懊嬉褜?dǎo)出k的末尾數(shù)字只能是5時(shí)4k2-2k+1末尾數(shù)字才能是1，而由于k=i2，所以，i的末尾數(shù)字也必為5，這樣必有k是25的奇數(shù)倍。在4k2-2k=2k（2k-1）中，由于k是25的奇數(shù)倍，2k就一定是50的奇數(shù)倍。又因?yàn)?k-1必為奇數(shù)，所以，4k2-2k=2k（2k-1）必為50的奇數(shù)倍，即有4k2-2k+1的末尾第二位數(shù)字必為5。

設(shè)4k2-2k+1=c+51（c的末尾兩位數(shù)字為0），下面再看j2的末尾數(shù)字的情況。

因?yàn)閖的末尾數(shù)字只有為1，9時(shí)，j2的末尾數(shù)字才能為1，才能與4k2-2k+1的末尾數(shù)字一致。所以，不妨假設(shè)j2=（a+1）2或j2=（a+9）2（其中，a是末尾數(shù)字為0的正整數(shù)）。

（1） （a+1）2=a2+2a+1，因?yàn)閍的末尾數(shù)字為0，所以，a2=b×100（b為正整數(shù)），這樣j2的末尾第二位數(shù)字只能由2a來確定，顯然2a的末尾第二位數(shù)字為偶數(shù)（因?yàn)閍是末尾數(shù)字為0的整數(shù)）。這樣就不可能與4k2-2k+1的末尾第二位數(shù)字是5相同，所以4k2-2k+1=j2就不成立。

（2） （a+9）2=a2+18a+81=a2+（18a+80）+1，同理j2的末尾數(shù)字第二位數(shù)字也只與18a+80有關(guān)，而顯然18a+80是10的偶數(shù)倍，即18a+80的末尾第二位數(shù)字必為偶數(shù)，所以，也不可能是5。這樣就不可能與4k2-2k+1的末尾第二位數(shù)字是5相同，所以4k2-2k+1=j2就不成立。

綜合（1）（2），由假設(shè)k，m是不定方程4x3-2x2+x-y2=0的正整數(shù)解，導(dǎo)出4k2-2k+1=j2的結(jié)論是錯(cuò)誤的，也就是說，假設(shè)是不成立，這樣，當(dāng)y為奇數(shù)時(shí)，不定方程4x3-2x2+x-y2=0沒有正整數(shù)解是正確的。

再思考相類似的不定方程4x3+2x2+x-y2=0，當(dāng)y為奇數(shù)時(shí)，是否有正整數(shù)解呢？endprint

證明過程與不定方程4x3-2x2+x-y2=0在前半部分的證明過程相同，只是把其中的m2=4k3-2k2+k=k（4k2-2k+1）改成m2=4k3+2k2+k=k（4k2+2k+1），然后證明中都把“減號(hào)”改成“加號(hào)”，又因?yàn)閙為奇數(shù)（已知y為奇數(shù)）而m2=4k3+2k2+k=k（4k2+2k+1），所以k必為奇數(shù)。接下來證明如下：

于是有4k2+2k+1，當(dāng)k取奇數(shù)時(shí)，其值情況如下：

4×12+2×1+1=7，4×32+2×3+1=43，4×52+2×5+1=111，4×72+2×7+1=211，4×92+2×9+1=343，4×112+2×11+1=507，4×132+2×13+1=703，4×152+2×15+1=931，4×172+2×17+1=1191，4×192+2×19+1=1483

由上面可以觀察到這樣的規(guī)律：4k2+2k+1的末尾數(shù)字是1，3，7的結(jié)論。（理論上是：根據(jù)4k2+2k+1末尾數(shù)字只與k的個(gè)位數(shù)字有關(guān)，而k的個(gè)位數(shù)字只可能為1，3，5，7，9。得出4k2+2k+1的末尾數(shù)字為7，3，1，1，3，并且按此順序重復(fù)出現(xiàn)）

因?yàn)?，m2=k（4k2+2k+1），又由上面證得k=i2，所以必有4k2+2k+1=j2，所以j必為奇數(shù)，亦即其末尾數(shù)字只可能是1，3，5，7，9。于是，j2的末尾數(shù)字可能為1，9，5，9，1，并且按此規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)。所以，只有當(dāng)都出現(xiàn)末尾數(shù)字為1時(shí)才有可能使4k2+2k+1=j2。又因?yàn)?k2+2k+1的末尾數(shù)字為1時(shí)，k的末尾數(shù)字必須是7或5，而又因?yàn)閗=i2，i是奇數(shù)，i2的末尾數(shù)字也只可能是1，9，5，9，1。所以，k只能取末尾數(shù)字為5的奇數(shù)，才能使4k2+2k+1和j2的末尾數(shù)字相同，并且都是1。

于是，把問題轉(zhuǎn)化到了4k2+2k+1=j2是否在末尾數(shù)字都是1時(shí)成立上。因?yàn)榍懊嬉褜?dǎo)出k的末尾數(shù)字只能是5時(shí)4k2+2k+1末尾數(shù)字才能是1，而由于k=i2，所以，i的末尾數(shù)字也必為5，這樣必有k是25的奇數(shù)倍。在4k2+2k=2k（2k+1）中，由于k是25的奇數(shù)倍，2k就一定是50的奇數(shù)倍。又因?yàn)?k+1必為奇數(shù)，所以，4k2+2k=2k（2k+1）必為50的奇數(shù)倍，即有4k2+2k+1的末尾第二位數(shù)字必為5。

設(shè)4k2+2k+1=c+51（c的末尾兩位數(shù)字為0），下面再看j2的末尾數(shù)字的情況。

因?yàn)閖的末尾數(shù)字只有為1，9時(shí)，j2的末尾數(shù)字才能為1，才能與4k2+2k+1的末尾數(shù)字一致。所以，不妨假設(shè)j2=（a+1）2或j2=（a+9）2（其中，a是末尾數(shù)字為0的正整數(shù)）。

（1） （a+1）2=a2+2a+1，因?yàn)閍的末尾數(shù)字為0，所以，a2=b×100（b為正整數(shù)），這樣j2的末尾第二位數(shù)字只能由2a來確定，顯然2a的末尾第二位數(shù)字為偶數(shù)（因?yàn)閍是末尾數(shù)字為0的整數(shù)）。這樣就不可能與4k2+2k+1的末尾第二位數(shù)字是5相同，所以4k2+2k+1=j2就不成立。

（2） （a+9）2=a2+18a+81=a2+（18a+80）+1，同理j2的末尾數(shù)字第二位數(shù)字也只與18a+80有關(guān)，而顯然18a+80是10的偶數(shù)倍，即18a+80的末尾第二位數(shù)字必為偶數(shù)，所以，也不可能是5。這樣就不可能與4k2+2k+1的末尾第二位數(shù)字是5相同，所以4k2+2k+1=j2就不成立。

綜合（1）（2），由假設(shè)k，m是不定方程4x3+2x2+x-y2=0的正整數(shù)解，導(dǎo)出4k2+2k+1=j2的結(jié)論是錯(cuò)誤的，也就是說，假設(shè)是不成立，這樣，當(dāng)y為奇數(shù)時(shí)，不定方程4x3+2x2+x-y2=0沒有正整數(shù)解也是正確的。

按照此種方法，可以考慮研究與此種不定方程相類似的不定方程的正整數(shù)解的問題，本文是作者在教學(xué)過程中的一些業(yè)余研究，有不當(dāng)之處敬請(qǐng)同行指教。

參考文獻(xiàn)：

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[2]柯召，孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠蘙M].上海：上海教育出版社，1980.

[3]李壽德.一種新的整數(shù)規(guī)劃法不定方程法[J].青海師專學(xué)報(bào)，1994年04期.

作者簡介：

王群亮，劉艷，遼寧省營口市營口職業(yè)技術(shù)學(xué)院。endprint