“點在曲線上”的問題探究

施振偉

[摘 要] 解析幾何題在江蘇高考中處于中檔題位置，其方法靈活多變.解幾題最大的難度在于計算方向的選擇，如果能夠找準計算方向可以達到事半功倍的效果.解幾問題常出現“點在曲線上”的情況，對于此類問題可以設直線與曲線方程聯立求點或利用一元二次方程根與系數之間的關系求解；也可以通過設點列方程組通過消元得到所求變量；甚至可以利用曲線所特有的幾何特性處理.

[關鍵詞] 點在曲線上；幾何角度；設線；設點

點在曲線上的問題是近幾年江蘇高考解析幾何題型中的熱點問題，該問題處理方法多樣，計算方法靈活多變，值得教師學生細細品味. 下面，筆者通過典型例題具體說明.

例：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2+y2=5，過點M（1，0）作直線l交圓C于A，B兩點，其中點A在第一象限，且=2，求直線l的斜率.

思路一：由于是直線和圓的問題，可以先從幾何角度去考慮，可以構造直角三角形，通過計算圓心到直線的距離，求出直線l的斜率.

解法一：連接OA，OB，作OH⊥AB交直線AB于點H，如圖2所示. 設OH=x，由=2，且OA=OB可得：=3，所以=3，所以x=.

設直線l的斜率為k，所以直線l的方程為：

？搖？搖？搖？搖kx-y-k=0（k>0），所以=，故k=1.

解法一體現幾何法是在解決直線和圓問題的主要方法，然而如果將本題改為橢圓背景的問題，幾何法不一定適用，此時可以通過代數法處理.

思路二：利用方程思想結合點在圓上的條件，可以將點A或點B的坐標解出來，從而求出直線l的斜率.

解法二：設A（x1，y1），B（x2，y2），由=2，M（1，0），可得：1-x2=2（x1-1），-y2=2y1，所以-x2=2x1-3，-y2=2y1.

因為A，B均在圓O上，

所以（2x1-3）2+（2y1）2=5，x+y=5.

解得x1=2，y1=1，

所以直線l的斜率為kAM=1.

思路三：結合思路二，可以結合一元二次方程根與系數的關系，將直線l的方程與圓O的方程聯立，通過韋達定理進行計算.

解法三：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=my+1（m>0），

聯立圓O的方程：x2+y2=5，可得：（1+m2）y2+2my-4=0，

所以y1+y2=，y1·y2=.

由=2，M（1，0），可得-y2=2y1.

由y1+y2=，-y2=2y1，可得y1=，y2=，

所以y1·y2==，

解得m=1，所以直線l的斜率為=1.

通過例題的三種解題思路可知：對于“點在曲線上”的問題一般可以從幾何和代數兩個角度去思考，計算的時候可以通過方程組求在曲線上的點的坐標或利用韋達定理處理. 解題時應根據具體的曲線背景和題目中的條件合理地選擇最佳的解題方法. 下面筆者結合兩個練習題對方法的選擇做進一步探究.

練習1（2017年南通市二模考試17題第二問）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+=1？搖（a>b>0）的離心率為，C為橢圓上位于第一象限內的一點，A為橢圓的左頂點，B為橢圓上一點，且=，求直線AB的斜率.

思路一：由條件=可得點B與點C的縱坐標關系為1∶2，通過將直線AB，OC的方程分別與橢圓方程聯立計算B與C的縱坐標，從而得到直線AB的斜率.

解法一：因為橢圓的離心率為，所以=，即=，

所以橢圓的方程為+=1，即5x2+9y2=5a2.

設直線OC的方程為x=my（m>0），B（x1，y1），C（x2，y2）.

由x=my，5x2+9y2=5a2，得5m2y2+9y2=5a2. 又因為y2>0，所以y2=.

因為=，所以AB∥OC. 可設AB的方程為x=my-a.

由x=my-a，5x2+9y2=5a2，得（5m2+9）y2-10amy=0. 又因為y1>0，得y1=.

因為=，所以y2=2y1，即=（m>0），所以m=.

所以直線AB的斜率為=.

思路二：由條件=可得點B與點C的坐標之間的關系，分別代入橢圓方程可求出點B或點C的坐標，從而得直線AB的斜率.

解法二：因為橢圓的離心率為，所以=，即=，

所以橢圓的方程為+=1，即5x2+9y2=5a2. 設B（x1，y1），C（x2，y2），

因為=，得（x1+a，y1）=x2，y2，所以x1=x2-a，y1=y2.

因為點B與點C都在橢圓5x2+9y2=5a2上，

所以5x+9y=5a2，5x2-a+9=5a2，

解得x2=，y2=，

所以直線AB的斜率為.

練習2（2014年南通市一模考試19題第二問）如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+y2=1的內接四邊形ABCD （點A，B，C，D在橢圓上）的對角線AC，BD相交于點P1，？搖，且=2，=2，求直線AB的斜率.

思路：由條件=2，=2可知AB//CD，故要求直線AB的斜率，即從點在曲線上的條件尋找x1，y1，x2，y2之間的關系.

解：設A（x1，y1），則+y=1.

由=2，得C，.

代入橢圓方程+y2=1，得+=1.

整理，得+y-（x1+y1）-=0，

即x1+y1=-.③

設B（x2，y2），同理可得x2+y2=-. ④

③-④，得=-1，即直線AB的斜率為k==-1.

？搖？搖對于點在曲線上的問題解法多種多樣，最關鍵的是要根據題目的條件選擇最佳的解決方案，一般利用幾何法和代數法都可以解決，但真正在限時訓練時要更注意方法的選擇和計算的方向.endprint