回歸基礎教材，重構知識體系

郭新河

[摘 要] 正、余弦定理是高中數學的重要內容，具有外在的整體性和內在的聯系性，對于定理的理解要從教材的概念原理出發，在理解定理本質的基礎上進行思維的拓展，筆者整理了正、余弦定理的教學復習課，從定理的證明入手，開展典題講評并總結了相關教學反思，與大家交流探討.

[關鍵詞] 正弦定理；余弦定理；聯系性

高中的復習課要注意回歸課本，注重教材內容的精講精練，對于定理要從基礎證明開始，結合高考真題進行講評. 數學知識是系統聯系的，教學的講授也應該注重之間的聯系，讓學生構建完整的知識體系，形成良好的認知，為解決數學的綜合問題打下基礎.

教學目標與重難點

1. 教學目標

（1）理解正弦定理和余弦定理的證法，掌握正、余弦定理實現三角形邊角之間的轉化.

（2）根據不同的條件，靈活運用正、余弦定理解決三角形的相關問題.

（3）通過三角函數和正、余弦定理等知識聯系事物之間的一般聯系與辯證統一關系.

2. 教學重難點

重點：可以綜合三角函數和正、余弦定理解決三角形的相關問題.

難點：可以合理地選用正、余弦定理，優化求解過程，并可以解決三角形多解問題.

教學片段與賞析

1. 回歸課本，喚醒知識

例題：將一根長度為30 cm的木棒鋸成兩段，分別作為一鈍角三角形ABC的兩條邊AB和BC，并且∠ABC=120°，怎樣鋸木條才可以使△ABC的周長達到最小？

師：請同學們講解一下自己的解題思路.

生：為使△ABC的周長達到最小，可使AC邊最短即可. 設AB的邊為x，則BC為30-x，根據余弦定理可表示AC=，0

設計意圖：上述例題是教材的經典練習題，是余弦定理解決實際問題的例子，通過知識的回顧重新溫習余弦定理，加深理解，為深入學習做鋪墊.

2. 推陳出新，定理重證

師：很好，考慮得很充分，正弦定理就此可以證明了.

（2）余弦定理

師：關于余弦定理的證明方法有很多，常用的有向量法、構造外接圓法、通用法，請同學們嘗試證明.

3. 典例講評，應用感悟

例題：在△ABC中，它的內角所對的邊分別為a，b，c，現已知a=bcosC+csinB.

（1）求B的值；

（2）如果b=2，求△ABC的最大面積.

預設解答：（1）根據已知，由正弦定理可知sinA=sinBcosC+sinC·sinB ①.

又由A=π-（B+C），所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②.

由①②以及C∈（0，π），可得sinB=cosB.又因為B∈（0，π），所以有B=.

（2）可知△ABC的面積為S=acsinB=ac，根據已知以及余弦定理可知4=a2+c2-2accos. 又有a2+c2≥2ac，所以ac≤（當且僅當a=c時，等號成立）. 因此，△ABC的最大面積為+1.

設計意圖：使學生加深對知識的理解，促使學生使用已有的知識和經驗去解決實際問題，達到融會貫通的境界，有利于學生形成相應的知識規律. 同時讓學生理解正弦定理和余弦定理并不是獨立的，解題時的綜合使用更加便利，形成自己連貫的思維.

4. 對接高考，思路擴展

（2015年高考安徽卷）設F1，F2分別為橢圓E：+（a>b>0）上的左、右焦點，經過點F1的直線相交橢圓E于A，B兩點，且AF1=3BF1.

（1）如果AB=4，△ABF的周長為16，求解AF2；

（2）如果cos∠AF2B=，求橢圓E的離心率.

設計意圖：高考題是很多優秀專家和教師的集體智慧的結晶，有很高學習價值，通過對高考題的探討學習，可以拓展學生的思維，提高學生的理解能力.

教學立意的深入思考

1. 調動學生的積極性，體現課堂的數學美

課改后的課堂應該是探究活動式的課堂，讓學生充分參與其中，發揮學生的主觀能動性，讓知識在活動探究中生成. 對于定理的證明，要讓學生充分地理解，發散思維，不拘泥于固定的形式，在合作交流中進行思想的拓展，增加學生的學習興趣. 數學教學要滲透數學思想，課程設計要主題明確，思路清晰，體現數學的簡約之美；要讓新舊知識交融碰撞，體現數學的連貫美；定理證明要科學合理，體現數學的理性美；教師授課要語言豐富，體現數學的文字美. 讓學生在課堂中真切地感受到數學的魅力，才能使學生積極主動地去學習數學、學好數學.

2. 適時回歸教材，尋求最真數學

每節課的內容都應該從教材本身的概念定理作為出發點，然后用數學的思想和方法將知識串聯起來，對于問題的探討要尋求教材的最真知識，從概念出發進行思考解決，尤其對于高三的復習課，必須重視教材，然后在解題策略上高于課本. 學習的過程不是模仿的過程，滲透數學真理的數學活動才是有價值的教學活動，以問題為背景，開展實踐討論，交流合作，最終做出理性的分析總結，讓學生體驗思想淬煉的過程，品析數學多樣的味道，感受數學本源的氣息，主動地去探求數學的真諦，這才是中學教學的內涵.

寫在最后

注重知識的聯系性，引導學生進行深層次的思考，領悟數學方法，提升數學內涵，這是對中學課堂教學的要求. 在高中復習課中，不僅要讓學生知道定理的“果”，更要讓學生明白其中的“因”，靈活地結合教材內容，讓學生在深刻理解定理本質的基礎上發散思維.