小學數學合情推理教學模式初探

楚曉密

摘 要：推理一般包括合情推理與演繹推理。小學階段，蘊含著許多合情推理的內容，應用過程中，要鼓勵學生猜想，嚴謹驗證，并注意要讓學生感受合情推理有時并不可靠，這些至關重要。

關鍵詞：合情推理 猜想 驗證 體驗

《數學課程標準（2011版）》指出：“推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。”推理一般包括合情推理與演繹推理。小學階段，蘊含著許多合情推理的內容，合情推理教學模式的具體流程如下：

現結合具體案例對此流程予以闡述。

一、模式重點環節的應用要求

1.鼓勵有理有據的猜想

此處的猜想，不能讓學生天馬行空胡亂猜想，而應該是有理有據的猜想。即必須要結合已有的知識經驗和生活經驗，通過對直觀經驗、相關知識的觀察、對比，在溝通的基礎上提出有一定論據的猜想，不能讓猜想成為形式。

以《2、5的倍數的特征》為例：教師在讓學生對2的倍數的特征進行猜想時，讓學生說一說猜想的理由。有學生說：“我是先舉例子的，比如2的倍數有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20等等，這些數個位上的數字都是2、4、6、8、0，所以我猜測2的倍數個位上是2、4、6、8、0。”又有學生說：“我是用加法思考的。我想2的倍數就是2個2個逐一加上去的，所以都會是雙數，就是2、4、6、8、10，然后兩位數時個位上又會是2、4、6、8、0，三位數的時候個位上也會是2、4、6、8、0。所以我覺得2的倍數就是雙數，個位上是2、4、6、8、0。” 學生的猜想雖然語言表述上還不是很精準，但從中能夠很清晰的反應出他們原始的知識和經驗儲備，原有經驗被激活，進入合情推理的初始環節。

2.提倡科學嚴謹地驗證

（1）舉例

舉例是根據前期的猜想舉出符合條件的例子，可以是具體數字，也可以是算式、圖例等。仍然以《2、5的倍數的特征》為例。學生在提出猜想后，為了驗證猜想的正確與否，要求學生想辦法進行驗證。此時，學生出現了兩大思維路徑：

第一種是按照猜想進行順向舉例：在百數表中進行圈畫，按照找倍數的方法找出100以內2的所有倍數，經過分析發現2的倍數分布很有規律，即總是整列整列地呈現。進而發現各列的共同特點，即個位數字都是2、4、6、8、0。此時鼓勵學生進行更大范圍的思考。學生結合發現會迅速明確：100以后2的倍數也會整列整列分布，即個位上是2、4、6、8、0。

第二種驗證思維是逆向的。即按照猜想的內容，先列舉出一些個位上分別是2、4、6、8、0的數，包括一位數、兩位數、三位數，通過計算看是否是2的倍數。經過這些例子的計算，驗證猜想的正確性，從而得出結論。

舉例有時可以全部列舉，大多時候只是一種不完全舉例，即由部分符合條件的例子中，加上科學推理，得出結論。形式不重要，重要的是讓學生經歷驗證的過程，積累活動經驗。

（2）幾何直觀的應用

小學生的思維仍然呈現以形象思維為主的特點，抽象思維大多時候也需要借助直觀模型的輔助。幾何直觀的應用，能夠很好地幫助學生跨越思維障礙和難點，幫助學生進入推理驗證的過程，并得出正確結論。

以《包裝的學問》為例。學生猜想，兩個相同的長方體進行包裝時，將最大的兩個面重疊最節省包裝紙。按照這個猜想進行驗證時，學生由于思維水平的不同，會呈現出不同層次的驗證方法。思維水平好的學生會直接計算減少的面積，但大多數學生會選擇計算所需包裝紙。而在計算所需包裝紙的時候，又會有兩種方法：第一種，看作新長方體，找出新長方體的長、寬、高，計算新長方體的表面積；第二種，用兩個長方體原來的表面積之和減去重疊面的面積。不論選擇哪種方法，都需要學生有較好的空間觀念。但事實上，很大一部分學生不能在腦海中構建這一幾何模型。此時就需要借助幾何直觀的手段，或者利用學具擺一擺、拼一拼來確定數據，或者畫出新的圖形幫助尋找數據，從而讓學生在直觀模型的輔助下，迅速找出數據并計算。

（3）實驗

數學中許多結論的推導都要借助實驗的手段。實驗可以是根據前期猜想利用學具操作，也可以是利用直觀模型進行轉化。實驗過程中，要注意對實驗數據的收集整理，尤其是要從實驗數據中抽取出有用的信息加以分析，從而驗證猜想是否正確。

以《圓錐體積》為例。學生在起始階段根據圓柱體積計算方法、圓柱與圓錐相似之處、等底等高的圓柱和圓錐外形上的對比，猜想：圓錐體積等于與它等底等高的圓柱體積的，并提出了用一組等底等高的的圓柱和圓錐容器進行實驗驗證。

在操作過程中有兩種方式：一種是用圓錐容器裝滿米粒，倒入等底等高的圓柱容器中，看幾次可以裝滿圓柱容器；一種是將圓柱容器裝滿米粒，倒入等底等高的圓錐容器中，看能倒滿幾次。兩種實驗操作都可以發現等底等高圓柱與圓錐體積之間的倍數關系。在有了實驗支撐后，學生結合實驗數據就能準確得出結論。

二、教學模式應用中，要注重讓學生感知合情推理有時并不可靠

合情推理的結論有時并不可靠，教學中，鼓勵學生猜測固然重要，但是也應使其感知到猜測有時并不準確，必須經過實踐驗證，從而讓學生擺脫僅憑經驗和直覺進行學習的固式。

以《3的倍數的特征》為例。受2、5的倍數特征研究經驗的影響，學生在最開始猜想時會只關注個位數字，認為“3的倍數個位上是3、6、9”。這說明學生已經具備了樸素的類比推理經驗。但這個猜想很快會被推翻，根據舉例子驗證的經驗，會有兩種不同的推翻方法：一種是舉出3的倍數，發現其個位數字0至9十個數字都有出現；另一種會舉反例推翻這個猜想。這個過程在教學中雖然會顯得浪費時間，但卻必不可少。因為這正是讓學生感受合情推理并不可靠，必須要經過科學合理的驗證，從而鼓勵學生重新觀察、重新猜想、重新驗證。

數學推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，課標將推理能力作為核心詞之一，需要教師的繼續深入探索，從而為學生的終身發展奠定基礎。endprint