小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理教學(xué)模式初探

楚曉密

摘 要：推理一般包括合情推理與演繹推理。小學(xué)階段，蘊(yùn)含著許多合情推理的內(nèi)容，應(yīng)用過程中，要鼓勵(lì)學(xué)生猜想，嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證，并注意要讓學(xué)生感受合情推理有時(shí)并不可靠，這些至關(guān)重要。

關(guān)鍵詞：合情推理 猜想 驗(yàn)證 體驗(yàn)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。”推理一般包括合情推理與演繹推理。小學(xué)階段，蘊(yùn)含著許多合情推理的內(nèi)容，合情推理教學(xué)模式的具體流程如下：

現(xiàn)結(jié)合具體案例對(duì)此流程予以闡述。

一、模式重點(diǎn)環(huán)節(jié)的應(yīng)用要求

1.鼓勵(lì)有理有據(jù)的猜想

此處的猜想，不能讓學(xué)生天馬行空胡亂猜想，而應(yīng)該是有理有據(jù)的猜想。即必須要結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，通過對(duì)直觀經(jīng)驗(yàn)、相關(guān)知識(shí)的觀察、對(duì)比，在溝通的基礎(chǔ)上提出有一定論據(jù)的猜想，不能讓猜想成為形式。

以《2、5的倍數(shù)的特征》為例：教師在讓學(xué)生對(duì)2的倍數(shù)的特征進(jìn)行猜想時(shí)，讓學(xué)生說一說猜想的理由。有學(xué)生說：“我是先舉例子的，比如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20等等，這些數(shù)個(gè)位上的數(shù)字都是2、4、6、8、0，所以我猜測(cè)2的倍數(shù)個(gè)位上是2、4、6、8、0。”又有學(xué)生說：“我是用加法思考的。我想2的倍數(shù)就是2個(gè)2個(gè)逐一加上去的，所以都會(huì)是雙數(shù)，就是2、4、6、8、10，然后兩位數(shù)時(shí)個(gè)位上又會(huì)是2、4、6、8、0，三位數(shù)的時(shí)候個(gè)位上也會(huì)是2、4、6、8、0。所以我覺得2的倍數(shù)就是雙數(shù)，個(gè)位上是2、4、6、8、0。” 學(xué)生的猜想雖然語言表述上還不是很精準(zhǔn)，但從中能夠很清晰的反應(yīng)出他們?cè)嫉闹R(shí)和經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，原有經(jīng)驗(yàn)被激活，進(jìn)入合情推理的初始環(huán)節(jié)。

2.提倡科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)仳?yàn)證

（1）舉例

舉例是根據(jù)前期的猜想舉出符合條件的例子，可以是具體數(shù)字，也可以是算式、圖例等。仍然以《2、5的倍數(shù)的特征》為例。學(xué)生在提出猜想后，為了驗(yàn)證猜想的正確與否，要求學(xué)生想辦法進(jìn)行驗(yàn)證。此時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了兩大思維路徑：

第一種是按照猜想進(jìn)行順向舉例：在百數(shù)表中進(jìn)行圈畫，按照找倍數(shù)的方法找出100以內(nèi)2的所有倍數(shù)，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)分布很有規(guī)律，即總是整列整列地呈現(xiàn)。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)各列的共同特點(diǎn)，即個(gè)位數(shù)字都是2、4、6、8、0。此時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行更大范圍的思考。學(xué)生結(jié)合發(fā)現(xiàn)會(huì)迅速明確：100以后2的倍數(shù)也會(huì)整列整列分布，即個(gè)位上是2、4、6、8、0。

第二種驗(yàn)證思維是逆向的。即按照猜想的內(nèi)容，先列舉出一些個(gè)位上分別是2、4、6、8、0的數(shù)，包括一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)，通過計(jì)算看是否是2的倍數(shù)。經(jīng)過這些例子的計(jì)算，驗(yàn)證猜想的正確性，從而得出結(jié)論。

舉例有時(shí)可以全部列舉，大多時(shí)候只是一種不完全舉例，即由部分符合條件的例子中，加上科學(xué)推理，得出結(jié)論。形式不重要，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷驗(yàn)證的過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（2）幾何直觀的應(yīng)用

小學(xué)生的思維仍然呈現(xiàn)以形象思維為主的特點(diǎn)，抽象思維大多時(shí)候也需要借助直觀模型的輔助。幾何直觀的應(yīng)用，能夠很好地幫助學(xué)生跨越思維障礙和難點(diǎn)，幫助學(xué)生進(jìn)入推理驗(yàn)證的過程，并得出正確結(jié)論。

以《包裝的學(xué)問》為例。學(xué)生猜想，兩個(gè)相同的長方體進(jìn)行包裝時(shí)，將最大的兩個(gè)面重疊最節(jié)省包裝紙。按照這個(gè)猜想進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，學(xué)生由于思維水平的不同，會(huì)呈現(xiàn)出不同層次的驗(yàn)證方法。思維水平好的學(xué)生會(huì)直接計(jì)算減少的面積，但大多數(shù)學(xué)生會(huì)選擇計(jì)算所需包裝紙。而在計(jì)算所需包裝紙的時(shí)候，又會(huì)有兩種方法：第一種，看作新長方體，找出新長方體的長、寬、高，計(jì)算新長方體的表面積；第二種，用兩個(gè)長方體原來的表面積之和減去重疊面的面積。不論選擇哪種方法，都需要學(xué)生有較好的空間觀念。但事實(shí)上，很大一部分學(xué)生不能在腦海中構(gòu)建這一幾何模型。此時(shí)就需要借助幾何直觀的手段，或者利用學(xué)具擺一擺、拼一拼來確定數(shù)據(jù)，或者畫出新的圖形幫助尋找數(shù)據(jù)，從而讓學(xué)生在直觀模型的輔助下，迅速找出數(shù)據(jù)并計(jì)算。

（3）實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)中許多結(jié)論的推導(dǎo)都要借助實(shí)驗(yàn)的手段。實(shí)驗(yàn)可以是根據(jù)前期猜想利用學(xué)具操作，也可以是利用直觀模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。實(shí)驗(yàn)過程中，要注意對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的收集整理，尤其是要從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中抽取出有用的信息加以分析，從而驗(yàn)證猜想是否正確。

以《圓錐體積》為例。學(xué)生在起始階段根據(jù)圓柱體積計(jì)算方法、圓柱與圓錐相似之處、等底等高的圓柱和圓錐外形上的對(duì)比，猜想：圓錐體積等于與它等底等高的圓柱體積的，并提出了用一組等底等高的的圓柱和圓錐容器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

在操作過程中有兩種方式：一種是用圓錐容器裝滿米粒，倒入等底等高的圓柱容器中，看幾次可以裝滿圓柱容器；一種是將圓柱容器裝滿米粒，倒入等底等高的圓錐容器中，看能倒?jié)M幾次。兩種實(shí)驗(yàn)操作都可以發(fā)現(xiàn)等底等高圓柱與圓錐體積之間的倍數(shù)關(guān)系。在有了實(shí)驗(yàn)支撐后，學(xué)生結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就能準(zhǔn)確得出結(jié)論。

二、教學(xué)模式應(yīng)用中，要注重讓學(xué)生感知合情推理有時(shí)并不可靠

合情推理的結(jié)論有時(shí)并不可靠，教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生猜測(cè)固然重要，但是也應(yīng)使其感知到猜測(cè)有時(shí)并不準(zhǔn)確，必須經(jīng)過實(shí)踐驗(yàn)證，從而讓學(xué)生擺脫僅憑經(jīng)驗(yàn)和直覺進(jìn)行學(xué)習(xí)的固式。

以《3的倍數(shù)的特征》為例。受2、5的倍數(shù)特征研究經(jīng)驗(yàn)的影響，學(xué)生在最開始猜想時(shí)會(huì)只關(guān)注個(gè)位數(shù)字，認(rèn)為“3的倍數(shù)個(gè)位上是3、6、9”。這說明學(xué)生已經(jīng)具備了樸素的類比推理經(jīng)驗(yàn)。但這個(gè)猜想很快會(huì)被推翻，根據(jù)舉例子驗(yàn)證的經(jīng)驗(yàn)，會(huì)有兩種不同的推翻方法：一種是舉出3的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)其個(gè)位數(shù)字0至9十個(gè)數(shù)字都有出現(xiàn)；另一種會(huì)舉反例推翻這個(gè)猜想。這個(gè)過程在教學(xué)中雖然會(huì)顯得浪費(fèi)時(shí)間，但卻必不可少。因?yàn)檫@正是讓學(xué)生感受合情推理并不可靠，必須要經(jīng)過科學(xué)合理的驗(yàn)證，從而鼓勵(lì)學(xué)生重新觀察、重新猜想、重新驗(yàn)證。

數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，課標(biāo)將推理能力作為核心詞之一，需要教師的繼續(xù)深入探索，從而為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。endprint