基于范希爾理論的立體幾何教學研究

馮凱

【內容摘要】范希爾理論將學生幾何思維水平劃分為5個層次，與《課程標準》立體幾何內容安排思想相符，對立體幾何教學有很高的指導意義。結合范希爾理論及其特點，教師要重視立體幾何教學進階性，不同層次語言符號使用，學習過程中思維水平間過度，確保教學與學習思維水平匹配。

【關鍵詞】范希爾理論 立體幾何 課程標準 幾何思維水平 教學策略

立體幾何高中數學知識中的學生要掌握的重要模塊，高考重要考點。范希爾理論對幾何思維和幾何教學等方面的研究較為深刻，被許多國家作為幾何教學的重要理論參考與依據，但我國在實際教學中運用尚且不夠廣泛深入，所以值得我們加以關注，并結合實際運用，以提高幾何教學效率與效果。

一、范希爾理論

荷蘭學者范希爾夫婦通過教授高中課程實踐，探索教學規律，指出學生幾何思維的五個水平以及與之對應的五個教學階段。

首先層次0：視覺是能辨認圖形，能運用幾何構圖元素畫圖，簡單描述幾何圖形，解決關于形狀的幾何問題，但不能運用圖形特征或要素概括論述圖形。層次1：分析是能根據圖形組成要素與特征，分析圖形特性，比較幾何圖形，解決幾何問題，但無法了解圖形定義，解釋性質的關聯。層次2：非形式化的演繹是能夠了解圖形以及其性質間的關系，進行非形式化地推論，探索圖形的內在屬性及其關系，使用定義、公式、性質進行演繹推論，但不能靈活的運用定理進行推論和了解證明的重要性。層次3：形式的演繹是了解證明的重要性，理解證明條件的充分必要性，發現定理間的聯系，嘗試用演繹方式證明猜測。層次4：嚴密性是在不同的公理系統下建立對應的定理網絡[1]。

教學階段分別是1：學前咨詢，教師通過交流幫助學生理解學習的課題；2：引導定向，認識學習方向，熟悉結構；3：闡明，形成學習的關系系統；4：自由定向，學生自由探索，明確學習對象之間的關系；5：整合，教師對教授的知識做全面的評述，幫助學生形成新的思維領域。

二、范希爾理論在《課程標準》中體現

《課程標準》立體幾何內容安排遵循從整體到一般的原則[2]，范希爾理論的次序性同樣體現這要求，各層次依次蘊含在其中。認識大量空間圖形，主要包括柱、錐、臺、球及其簡單組合體為層次0；了解柱、錐、臺、球的結構特征，學會繪畫三視圖、直觀圖，運用于實物視圖繪畫為層次1；了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積公式為層次2；認識理解點、線、面的位置關系及定義，了解部分公理和定理；證明空間位置關系簡單命題為層次3。

三、范希爾理論指導下的立體幾何教學策略

立體幾何教學內容編排與范希爾理論的思想有異曲同工之妙，將范希爾理論用于指導立體幾何教學是有意義的。結合理論的進階性、語言性、不連續性、不適配性應關注以下幾個方面。

1.重視立體幾何教學進階性

學生的幾何思維水平的提升是離不開教學活動的幫助的，而且，不存在某種教學方法能使學生的幾何思維水平跳過某個層次達到更高的層次。教師切莫想一蹴而就使學生由上一個水平進入下一個水平。如在認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征前，不能省去利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形這一步驟。正是有了這一步驟的鋪墊，學生更容易自主的去發現不同幾何體的不同特征，雖然模糊不明確、零散不系統，但接下來教師的引導、歸納、總結就顯水到渠成，不那么突兀。學生輕松順利地從層次0進入層次1，而不是疲于應對地跳過層次0直接進入層次1。前者是學生作為主體在教師的主導下按照認識規律探究、學習、掌握立體幾何知識內容，后者是學生在教師完全掌控下灌輸式地接受知識內容，雖表面上達到新水平，但不具備與之對應的能力。所以，教師應做好引導鋪墊工作，合理設置問題情景進行啟發誘導，使學生的幾何思維水平一步步地得到有效的提升。

2.重視不同層次語言符號使用

在不同的水平層次，學生會使用不完全相同的語言符號表達。當學生剛開始學習時，表達必然是具體化的，例如兩條直線相交，但教學內容深入抽象后，對相交描述更側重于它們有唯一的共同點。教師應引導學生在與文字語言的對照中逐漸了解、掌握、應用數學語言進行抽象表達，通過學習數學語言的過程加深學生對立體幾何本質的認識。但數學語言的學習使用，必須依據學生立體幾何學習水平，過早的學習只會違背從具體到抽象原則，造成各層次語言使用的混亂，不利于學生幾何思維水平的提升。

3.重視學習過程中思維水平間過度

各個水平間并沒有平滑的過度，而是一個層次跳躍到另一個層次。在立體幾何教學過程中，隨著內容的從整體向具體空間要素的過度，學生必然要經歷思維上的危機，可感覺到不知所措，這是達到一個新層次所必須經歷的，也是教師幫助學生去“知所措”好時機。在這個階段不僅需要的是練習，還需要教師做好總結歸納的工作，幫助學生從整體上把握知識框架，從細節上去理解定義定理的內涵與運用，溫故而知新。

4.確保教學與學習思維水平匹配

要取得良好的教學效果，學生的思維與教師的教學需要處于同一個水平層次，否則不能達到預期的教學效果。在立體幾何教學活動過程中，教師需要提前了解學生的知識儲備，對不同的班級選擇合適的立體幾何教學知識內容，設計與學生當前立體幾何水平相匹配的教學活動。在同一個班級中，教師應當充分考慮不同學生學習基礎不同，學習能力不同，學習狀態不同，并在教學設計中對一堂課的教學活動遵循因材施教的原則，讓每個同學都能參與到教學活動中來，從而充分挖掘自我潛力和展示自我能力。

【參考文獻】

[1] 鮑建生.數學學習的心理基礎與過程.上海：上海教育出版社，2009.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003.endprint