論向量在解決高中數學問題中的應用

江蘇省徐州市賈汪中學 魏玉禮

向量是現代物理學與數學中的關鍵工具，將數與形融為一體，不僅有代數的抽象性，還有幾何的直觀性，是連接兩者的天然紐帶。在高中教育階段，向量具有較強的實用性，能用來解決多種數學問題，不僅是有效的解題手段，還可以把數學知識有機串聯在一起。因此，在高中數學中，教師需要指導學生學會運用向量解決問題，幫助他們構建完善的知識體系和提高解題能力，從而不僅優化數學教學，更培養學生的數學能力。本文筆者結合教學實際就此略談點滴感悟，與同行共研。

一、向量知識在解決線性規劃問題中的應用

簡單線性規劃指的是目標函數含兩個自變量的線性規劃，其最優解可用數形結合方法求出。應用向量知識解決線性規劃問題時，主要分析有關向量的數量積，將z=ax+by的目標函數用來表示平面內向量AB=（x，y）和AM（a，b）的數量之積。如果|AM|的值固定，x的值是向量AN在向量AM方向投影的倍數，在該情況下,投影的最值點即為最優點。

比如，在教學“向量的線性運算”環節，向量作為一個新的概念，學生開始接觸時自然會感到困難，需要學習向量的概念、向量的線性運算和平行向量基本定理等知識。當他們學會向量的加法、減法、數乘向量和向量共線的條件與坐標軸上向量坐標運算等知識后，教師設計題目：如果存在z=x+4y中的未知變量x，y滿足以下條件：①x＞1；②x+2y＜3；③x-8y＜0，嘗試求出未知數z的最小值和最大值。解析：學生首先需要假設存在點N（x，y）是任意一點，而且點M能夠用（2，4）來表示，所以得到z=A·AN，結合向量數量積的幾何意義能夠輕松計算出：如果N（x，y）在點（2，4）處時，z=x+4y有最小值，即為z=2+4×4=2+16=18；假如N（x，y）在點（2，18）時，z=x+4y有最大值：z=2+4×18=2+72=74。

在數學問題的解決過程中，學生把向量知識很好地應用到解決簡單線性規劃問題中，思路將會變得更加清晰，會快速確定解題思路和方向，并在一定程度上降低解題難度和提高解題正確率，從而優化問題的解決效率。

二、向量知識在解決常見幾何問題中的應用

向量指的是存在方向和大小特征的量，向量大小則指的是該向量的模。在高中數學向量知識中，主要包括共線向量、零向量和相等向量等，當有向量（a，b）（b≠0）時，則a∥b的充要條件是有實數λ，且a=λb。在高中數學教學中，教師可組織學生應用向量解決一些常見的幾何問題，包括直線與方程、圓與方程等，為他們提供新穎的解題渠道。

如在進行“直線與方程”的教學時，當學生學習完教材中的知識內容，知道直線的五個方程形式之后，教師可引領學生運用向量知識來解決有關直線與方程的問題。如：已知三角形AOM的頂點分別是A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），點B、C、D則分別是三角形三邊AO、AM、OM的中點，據此研究直線BC、BD、CD的方程表達式。解析：由于三角形AOM三個頂點的坐標分別是A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），得出三條邊中點B、C、D的坐標分別是（1，-1）、（-2，-1）、（-1，1）。假設存在點P（x，y）位于直線BD上，因為DB∥DB，那么直線BD的方程能夠輕松求出，以此類推，采用同樣的方法把直線BC和CD的方程計算出來，而且應用直線向量和共線向量將問題進行適當轉化，同樣可以計算出直線BC和CD的方程。

教學實踐中，學生應用向量知識解決關于直線與方程的問題，能夠有效培養他們的思維轉換能力，將其數學思維鍛煉得更加靈活和敏捷，最終快速求出直線方程。為此，我們教師在教學中要契合學生的心理需求，盡可能培養學生的思維，讓學生在教師的引導下得以快速發展。

三、向量知識在解決立體幾何問題中的應用

立體幾何既是高中數學教學中的重點，還是難點，不少空間圖形比較抽象復雜，對學生的邏輯思維能力和空間想象能力要求較高，他們在學習和解題過程中均感覺難度較大。對此，高中數學教師在講授立體幾何知識時，需要引領學生把向量知識應用其中，把復雜問題變得簡單化，或者借助平面直角坐標系知識，把立體幾何問題轉換成易于計算的代數問題。

例如，在學習“立體幾何”時，教師設計問題：有正方體ABCD-A1B1C1D1，點E是棱DD1的中點，那么在棱C1D1上是否存在一點M，能夠讓B1M和平面A1BE相互平行，且進行驗證。解析：第一步以點A為原點建立空間坐標系，設正方形的棱長是2，點B的坐標是（2，0，0），點B1的坐標是（2，0，2），點E的坐標是（0，2，1），所以BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2）。設平面A1BE的法向量用M=（x，y，z）來表示，那么m·BE=-2x+2y+z=0，m·B=2x+2z，如果x=1，那么y=32，z=-1，得出m=（1，32，-1）。當點M在棱C1D1上，而且B1M∥平面A1BE，若點M的坐標是（xa，2，2），（0≤xa≤2），有BM=（xa-2，2，2），能夠得出m·BM=1×（xa-2）-32×2-（-1）×2=0，則xa=1，即當M是棱C1D1的中點時，B1M和平面A1BE平行。

在上述案例中，當學生應用向量知識解決立體幾何問題時，能夠有效降低題目的難度，將抽象的立體幾何知識變得形象具體，借此鍛煉他們的空間想象能力和轉換意識，極大地發展學生的解題能力，優化學生的思維品質，從而在不經意間提升了學生的解題能力。

總之，在高中數學教學活動中，向量是相當重要的知識內容，將向量知識滲透在學生平時的解題訓練中，不僅可以夯實學生對向量知識本身的理解，還可助推他們的思維能力，優化學生的解題能力，在解決實際問題時有著關鍵作用。因此，我們教師要引導學生靈活轉變解題思路，靈活運用已有知識，在教學中善于將已學知識與新知教學巧妙融合起來，既讓新知教學實現積極遷移，更深化學生對舊知的理解。