多一點方法 少一點運算

江蘇省昆山市震川高級中學(xué) 姚 進

從教高中數(shù)學(xué)20年，經(jīng)常聽到學(xué)生說：這個題我懂了，但就是算不到結(jié)果。這其實反映了好多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的一個怪圈：重思維，輕計算。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展的人的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)。高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含六個方面，數(shù)學(xué)運算是其中重要的一方面。尤其到了高三綜合復(fù)習(xí)階段，培養(yǎng)、提升學(xué)生的運算能力成了提升數(shù)學(xué)水平的一個突破點，突破了該瓶頸，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能更上一層樓。筆者認為數(shù)學(xué)教師在平時的教學(xué)過程中，應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，通過在教學(xué)中幫助學(xué)生尋找合理的、簡捷的運算方法，進而提升運算能力，提高解題的正確率。下面略舉幾例，以饗讀者，不足之處，敬請斧正。

一、運用定義，減少運算

在解析幾何的學(xué)習(xí)過程中，大部分學(xué)生對一些題目是有思路的，但是就是算不到結(jié)果。其實很多題若想到利用定義去解題，往往可以減少很多運算。

解析：本題若按照常規(guī)解法，設(shè)C（x,y），依照題意，找出等量關(guān)系,列出等式然后兩次平方、化簡，運算量很大。但若利用定義求解。依照題意有由橢圓的定義可知，點C的軌跡是以為焦點，長軸長為10的橢圓，同時去掉兩個點（±5,0），最后得到點C的軌跡方程為

評注：常規(guī)方法是求軌跡的直接法，涉及復(fù)雜的運算過程，也是推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，既重復(fù)，又煩瑣。而定義法把問題直接轉(zhuǎn)化成橢圓的定義，思路直觀、明了，運算簡潔，大大提高了正確率。

二、數(shù)形結(jié)合，減少運算

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它把數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，進而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，開拓了學(xué)生的解題思路。

例2 已知f（x）是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，3]時，若函數(shù)在區(qū)間[-3,4]上有10個零點(互不相同)，則實數(shù)a的取值范圍是 。

解析：構(gòu)造函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=a，如圖，則問題可以轉(zhuǎn)化為以上兩個函數(shù)在[-3，4]上有10個交點，作出函數(shù)的圖像，易知當(dāng)x=1時，方程 f（x）-a=0在x∈[-3，4]上有10個零點，由于函數(shù)f（x）的周期為3，因此直線y=a與函數(shù)的圖像有4個交點，則

評注：數(shù)形結(jié)合思想在處理函數(shù)的零點問題、函數(shù)的周期問題、函數(shù)圖像的交點等問題是一個有力武器，這個思想是高中學(xué)習(xí)函數(shù)的重要思想，教學(xué)過程中要加以強化。

三、聯(lián)想類比，減少運算

在各種數(shù)學(xué)思想中，類比是一種重要的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)解題過程中，有時根據(jù)兩個對象的某些屬性的相同或相似性，通過類比分析，可以尋求簡捷的解題方法。

例3 已知f（x）是定義在實數(shù)R上的實數(shù)，滿足f（x+2）-則 f（2006）

解析：本題按照常規(guī)解法，需要猜出f（x）一定為周期函數(shù)，將已知條件化簡，然后推導(dǎo)其周期，這樣計算量比較大。但是若注意到條件可以化為類比聯(lián)想到學(xué)過的兩角和與差的正切公式我們通過類比，知道函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，周期為的周期的倍，所以f（x）的周期為8，所以

評注：此題巧妙借助于兩角和與差的正切公式的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想類比，很容易得出函數(shù)f（x）的周期為8，簡單明了，大大簡化了運算過程。

四、運用對稱,減少運算

解析：本題的常規(guī)思路是把所求的式子全部降冪，然后運用兩角和與差的公式進行化簡求值，這樣運算比較麻煩，但若利用對稱構(gòu)造，則可另辟蹊徑，簡化運算，提高正確率。

解析：本題按照常規(guī)解法，涉及正整數(shù)的命題，可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，運算過程比較煩瑣，原題即是證明根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)形式，由數(shù)字的差異，考慮對稱地插入數(shù)字，使其能約分化簡。

評析：運用對稱思想,進行整體構(gòu)造,使問題更清晰，求解、求證更簡便，這就要求我們在平時教學(xué)過程中要多強化對稱思想，整體構(gòu)造思想，進而培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、處理問題的能力。

《高考數(shù)學(xué)考試大綱》要求學(xué)生的運算能力做到“能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑”。這就要求我們教師在平常的教學(xué)過程中，首先要重視該能力的培養(yǎng)，努力選取合理的方法，尋找簡捷的途徑，從而減少運算量，提高解題的效率，進而達到事半功倍的學(xué)習(xí)目的。