數形結合與有效課堂教學

江蘇省蘇州市吳中區木瀆金山高級中學 顧維維

一、培養數形結合意識，尋找契合點

“冰凍三尺非一日之寒”，要讓學生能夠熟練掌握數形結合的思想方法，首先應培養學生具備數形結合的意識，這要求我們教師必須在平時的教學中經常滲透數形結合的思想方法，要注意培養學生這種思想意識，爭取做到見數思形，見形想數。

分析：由于本題所給函數解析式結構較為復雜，沒用明顯突破點，運用常規辦法難度較大，而且過程煩瑣。仔細觀察，可以發現題目所求可以看成是兩段距離差值的最大值，將“數” 化成“形”來解決，值得一試。

如圖所示，結合圖形可知，當A，B，P三點共線時，f（x）最小，此時

分析：題目已知的是分別關于a，b和c，d的兩個方程，很一般，但是所求的形式卻給了我們很好的靈感，它不就是兩點間距離的平方嗎？而這兩點分別在所給方程對應的函數曲線上，那么強烈的數形結合意識便油然而生。

通過這兩個例題可以看出，在平時教學中主動設置類似問題，引導學生仔細審題，認真觀察，找到數形結合的契合點或者突破點，逐步培養數形結合的意識，由于數形結合是直觀想象（數學核心素養要素之一）的重要內容，所以數形結合思想的滲透過程也是對學生數學核心素養的培養過程。

二、抓住本質，真正做到“心中有形”

（1）若f（x）≥0，求a的值；

分析：（1）問的解法很多，比如對a與0比較，進行分類討論，或者參變分離，求導，求最小值等等。事實上，本題還可以通過數形結合來研究，當然，這種方法不一定最簡單，筆者單純從研究角度考慮本題的第（1）問。

解：令f（x）≥0，即x-1≥alnx，若a＜0，不妨取則顯然不合題意。a=0時，取則 f（x）＜0，同樣不合題意，故a＞0。

由于x-1≥alnx，該不等式所表示的含義可以這樣理解：定直線y=x-1恒在過定點（1,0）的曲線y=alnx的上方，當a=1時，y=alnx在（1,0）處的切線是y=x-1，如下圖中曲線C1所示，符合題意；

當a＞1時，如曲線C2，不符合題意；

當0＜a＜1時，如曲線C3，不符合題意。

所以，要滿足定直線y=x-1恒在曲線y=alnx的上方，當且僅當a=1。

思維發散：事實上，本題還可以換個角度去研究，根據前面的分析可知a＞0，則x-1≥alnx可變形為那么問題轉化為動直線恒在定曲線的上方，

當a=1時，y=alnx在（1,0）處的切線是y=x-1，結合下圖，符合題意；

當a＞1時，此時直線如下圖l1所示，與y=lnx交于另一點A，不符合題意；

當0＜a＜1時，此時直線如下圖l2所示，與y=lnx交于另一點B，不符合題意；

綜上可知，a=1。

評注：本題以高考題為研究背景，運用數形結合，從多角度來展開探討，在課堂上做開放性研究，教師適當引導，目的是要讓學生知道如何去除問題表面，抓住數形結合的本質，同時又感受到數形結合的魅力，強化學生對數形結合的深刻理解，增強學生對數學的興趣和輕松面對高考的信心。

在高中的教學中，我們經常會遇到許多相似的題目，這些題目大多數我們都很熟悉，作為教師，我們應該善于總結，發現內在聯系和規律，形成知識體系，傳授給學生，這樣做能夠開闊學生思維，增強學習興趣和學習信心，同時可以有效避免題海戰術以及學生一做就錯，再做再錯導致的消極學習心理。

評注：兩種解法首先均是利用y=ax(a＞1)的單調性得到以c，d為根的方程，解法1為常規解法，但解方程和不等式過程比較煩瑣，而解法2比較靈活，首先對方程進行變形，轉化為與常數函數y=lna的圖像有兩個交點問題，數形結合，答案一目了然。

當然，此時應趁熱打鐵，乘勝追擊!

分析：本題若用一般方法解決，難度較大，若考慮數形結合，以函數的性質為依托，對函數進行適當變形，將原函數存在零點轉為兩條曲線有交點，那么問題便可迎刃而解。

圖（1）

圖（2）

數形結合的思想方法應始終貫穿在數學教學中，具體可以根據所授內容，結合學生實際情況，在我們的課堂教學和課后訓練中不斷滲透“數形結合”思想，事實上，這也是對學生數學核心素養的培養過程，在這個過程中，讓學生感受到數學的魅力，增強其學習的興趣和信心，快樂學習，同時也提高了學生的學習能力和解題能力。

在數學的學習和教學中，我們要仔細觀察，善于總結，總結好的理論與思想，好的教學方法與對策，并實實在在地落實到每一節數學課堂中，切實提高教學實效。