構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方法

王競(jìng)

【摘要】解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法有很多，其中構(gòu)造法就是一種較為有效的解題思路。顧名思義，構(gòu)造法的本質(zhì)在于“構(gòu)造”，要求學(xué)生熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)、體系、概念和規(guī)律。總的來(lái)講，構(gòu)造法幾乎適用于每一種題型，包括數(shù)列、函數(shù)、曲線、幾何、代數(shù)等，旨在考察學(xué)生觀察問(wèn)題與數(shù)學(xué)聯(lián)想性思維。文章結(jié)合本校高二數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，以圓錐曲線一些疑難題目的解題技巧為主要研究方向，淺談一些高中數(shù)學(xué)解題與構(gòu)造法的科學(xué)思路與運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法 高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）48-0146-01

一、數(shù)學(xué)思維與構(gòu)造

數(shù)學(xué)是高中學(xué)習(xí)中的一門(mén)關(guān)鍵學(xué)科，無(wú)論是對(duì)于文科生來(lái)說(shuō)還是對(duì)于理科生來(lái)說(shuō)，均富有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性。與其他學(xué)科相比，由于高中數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)占比較大，再加上很容易與其他同學(xué)拉開(kāi)分差，所以成為了絕大部分學(xué)生的主攻課程。然而，還是那句老話“會(huì)的不難，難的不會(huì)”。對(duì)于大部分處在中下等水平的學(xué)生而言，學(xué)起來(lái)的確很吃力。實(shí)際上這種學(xué)習(xí)層面和數(shù)學(xué)能力上的差距是全方位的，并不存在所謂的一知半解，因?yàn)檎嬲苷瓶財(cái)?shù)學(xué)解題空間的學(xué)生，并不會(huì)頻繁犯錯(cuò)。與之相反，其他部分學(xué)生經(jīng)常處在“會(huì)與不會(huì)”的尷尬境地，而多次的考試測(cè)評(píng)成績(jī)則可以說(shuō)明一切。

如上，盡管如此，對(duì)于數(shù)學(xué)水平非拔尖的大部分學(xué)生而言，幫助他們拓寬數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考空間，多提供一些解題思路和技巧，對(duì)于遇到一些新穎的考試題目時(shí)很有大幫助。更重要的是，在顯著提升學(xué)生成績(jī)的同時(shí)，更側(cè)重于對(duì)絕大部分學(xué)生思維的再創(chuàng)造、再塑造，這才是新課標(biāo)的教育理念和育人目標(biāo)。具體來(lái)看，構(gòu)造法側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生們的逆向思維，即相對(duì)于定向思維而來(lái)。當(dāng)定向思維難以有效解決問(wèn)題的時(shí)候，要求學(xué)生立即轉(zhuǎn)變關(guān)注問(wèn)題的視角，用新的觀點(diǎn)來(lái)觀察、分析，并嘗試著理解。根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征，構(gòu)造出相關(guān)的滿(mǎn)足條件。包括由已知結(jié)果來(lái)構(gòu)造有依據(jù)的過(guò)程思路，或者反推等。

二、圓錐曲線解題中合理運(yùn)用構(gòu)造法

如上述所言，構(gòu)造法是對(duì)于定向思維解題思路而言。簡(jiǎn)言之，就是基礎(chǔ)解法的升級(jí)和靈活變通。何為基礎(chǔ)解法，以圓錐曲線這一章節(jié)為例。在教學(xué)中，最開(kāi)始方法傳授均是從基礎(chǔ)解法開(kāi)始。教師考慮到學(xué)生剛接觸新知識(shí)，首要解決的任務(wù)就是讓學(xué)生先行了解，掌握簡(jiǎn)單的解題思路。到了后期，隨著學(xué)生內(nèi)心知識(shí)體系成熟之后，包括題目的難度以及解題的思維思路，均可再次提升層次。所以，基礎(chǔ)解法就是要求學(xué)生運(yùn)用概念來(lái)解題，也可以利用性質(zhì)來(lái)解題。構(gòu)造法則是基于上述的拓展延伸，最終實(shí)現(xiàn)巧妙解題。

1.構(gòu)造圖形法

例題1：設(shè)F1、F2 分別是某橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)在此橢圓上存在點(diǎn)P ，且∠F1PF2為直角，求離心率e 的范圍。

對(duì)于此類(lèi)題目，并不能結(jié)合已知的部分條件直接獲取答案，所以，更側(cè)重于考查對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度，以及拓展訓(xùn)練的水平。此類(lèi)題目一般需要學(xué)生自主創(chuàng)設(shè)出有利條件。相對(duì)而言，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形更加直觀有效。故解題思路：已知點(diǎn)P在橢圓上，并且∠F1PF2為直角，故可得知F1、P、F2屬于直徑為F1F2的同一個(gè)圓上。由此進(jìn)一步得出，圓的半徑大于等于橢圓短半軸，一般被表示為c≥b ，所以c2≥a2-c2， 最終得出 e2≥1/2，所以離心率e 的取值范圍在/2 和1之間，即/2 ≤e<1 。

如上，在筆者看來(lái)，無(wú)論是從單純的思維視角來(lái)看，還是考慮到時(shí)間成本，均需要一切圍繞著如何解題簡(jiǎn)單就如何推進(jìn)。但是，仔細(xì)觀察一番不難發(fā)現(xiàn)，這道題目并非表面看上去那么簡(jiǎn)單，并且上述提到的概念、性質(zhì)解題思路也很難快速有效推進(jìn)。故此，遇到困惑時(shí)學(xué)生應(yīng)當(dāng)多聯(lián)系其他方法，尤其是課堂上老師傳授的各類(lèi)巧妙解題思路。再次多觀察10-20秒的時(shí)間，會(huì)有新發(fā)現(xiàn)，題目可直接構(gòu)造應(yīng)用。

2.構(gòu)造方程法

構(gòu)造圖形法的本質(zhì)屬于簡(jiǎn)易的證明，以證求證。

例題2：已知三角形ABC的頂點(diǎn)A和B在某橢圓上，橢圓方程為x2+3y2=4。其中，另一個(gè)頂點(diǎn)C 則處在直線L 上，直線L方程為 Y=X+2 ，且L與直線AB平行，問(wèn)：當(dāng)∠ABC為直角時(shí)，且斜邊AC的長(zhǎng)度最大，求AB兩點(diǎn)所在直線L1的方程表達(dá)。

結(jié)合筆者所在幾個(gè)班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況來(lái)看，對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，當(dāng)看到此類(lèi)題目時(shí)，會(huì)在短短的10-20秒時(shí)間內(nèi)找尋出最有利的一條信息，那就是直線L 。所以，首先要把握的就是直線L在整個(gè)坐標(biāo)系空間內(nèi)的位置。所以，會(huì)直接將該問(wèn)題項(xiàng)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。通過(guò)這種問(wèn)答關(guān)系的轉(zhuǎn)變，可直接將問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

首先需要確定的就是L的位置，把握住直線L與圓點(diǎn)的垂直距離。確定直線L 的位置后，假設(shè)AB兩點(diǎn)所在直線方程為Y=X+M 。由于只知道直線L1與直線L是平行的關(guān)系，所以需要借助其他條件來(lái)進(jìn)一步求證。設(shè)方程組，可將AB兩點(diǎn)的距離求出，即|AB|的值，（計(jì)算過(guò)程略）求出結(jié)果為/2。順勢(shì)再次求出BC的長(zhǎng)度，然后借助勾股定理求出AC的長(zhǎng)度。此刻，假設(shè)AC斜邊最長(zhǎng)，最終求出AB所在直線L1的方程式，即Y=X-1 。

3.討論

熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)生，不一定能考高分，但考高分的學(xué)生一定是熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)。因?yàn)閮?yōu)秀（以130分為標(biāo)準(zhǔn)）學(xué)生、中等學(xué)生（以110分為標(biāo)準(zhǔn)）、單科弱差生（低于80分）彼此間的差距，恰恰是基于基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的延伸能力與拓展能力。比如常見(jiàn)的一些難題、復(fù)雜題目，有的同學(xué)很輕松解決，而其他的同學(xué)大半天都毫無(wú)頭緒。故此，基礎(chǔ)知識(shí)靈活掌控的基礎(chǔ)上，更在于高中生的創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)思維。如何打破傳統(tǒng)學(xué)習(xí)認(rèn)知與創(chuàng)造性思維，相當(dāng)程度上還是要取決于我們現(xiàn)有的教學(xué)體制和課堂施教觀念。學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)是前提也是其次，如何快速的找尋出包括等差數(shù)列在內(nèi)的各知識(shí)考查題目的解題規(guī)律，則屬于高中新課改的永恒話題。

參考文獻(xiàn)：

[1]馮旭明. 淺談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 數(shù)理化解題研究， 2017（7）：37.

[2]何憶捷， 熊斌. 中學(xué)數(shù)學(xué)中構(gòu)造法解題的思維模式及教育價(jià)值[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2018（2）.