利用多種數學模型“點睛”數的認識

浙江杭州市余杭區長樂中心小學 張 弘

浙江杭州市余杭教育學院 鐘 立

在小學階段，數的認識是數與代數領域的重要內容。數的認識一般除包括數數、數的讀寫、數的順序、數的大小、數的組成，還包括數的產生與發展過程、數在不同情境中的多種含義等，這對以具體形象思維為主的小學生來說，理解數的意義有一定的困難。

數尺、數軸、百格圖、百數表是數的認識教學中常用的教具或學具，可以稱為數學內部模型。從教學實踐來看，這些數學模型能變抽象為直觀，變靜止為動態，揭示了數的形成與發展等，成為學生認識數過程中強有力的“助手”。用好這些數學模型，學生才能更好地理解數學知識。

1.利用數尺或數線來“點睛”數的順序

數，都是從1、2、3、4……這樣的自然數開始的。入學前的兒童雖然能輕松地一個接一個數到一百，但這對一串數中包含的順序關系、序數與基數意義等可能認識不是很到位。我們需要在數數的基礎上幫助學生清晰地認識數的順序，這就可以利用數尺或數線。因為數尺或數線上的數排列是有規律和方向的，能讓學生對數序形成較淺顯的感性認識。

比如，教學《10的認識》一課時，“十”是學生數的認識中第一個關鍵“節點”。因為從一位數到兩位數、從計數單位“一”到“十”等有認識的第一次飛躍。本課中，我們可以借助學生一個一個數的經驗，充分利用數尺或數線來認識10。人教版一年級上冊《10的認識》是利用數尺來說明10的數出及認識10的。

而我們通過教學實踐，更希望呈現下面的圖（圖1）：

圖1

出現一個珠子出來一個一，再出現一個珠子出來一個二……直至出現十個珠子出來一個十。上面雖然呈現的只是帶有數字的直線（簡稱為數線），但由于一個珠子與一個數字對應著出現，相比數尺更直觀、更形象，可以幫助學生進一步認識數與數的順序，初步感知數的排列是有規律和方向的，讓學生對數序形成較好的感性認識。

2.利用計數器來“點睛”十進制與數位

十進制、位值制是理解計數法的重點，但又由于比較抽象，也是教學難點。如上例中，“十”是學生第一個接觸的最能明顯體現出“數位”這一概念的數。雖然學生對計數單位“一”有著豐富的認識，但對“滿十進一”“十”也是一個計數單位的認識就不到位了、不清晰了，有些學生根本沒有意識到“十”也是一個計數單位。這就需要計數器來幫忙。

計數器，在幫助學生建構十進制、位值制概念及相同計數單位數直接加減等核心概念的學習中有著獨特的價值。相對于小棒，計數器在數形結合直觀展示諸如“數位”“計數單位”等抽象知識，動態展示“滿十進一”等方面優勢明顯，能更好地促進學生抽象思維的發展及上述概念的建構。因此，我們要充分利用計數器向學生直觀展示10、20、100、1000等是如何變化來的，以及怎么寫的，知道并掌握同一個數字符號在不同的數位上表示不同的數值等，進而理解“數位”及“計數單位”，并感受十進制、位值制的簡潔、智慧與優越。（圖2）

圖2

3.利用數軸來“點睛”數的順序與估算

我們知道，規定了原點、正方向和單位長度的直線就叫數軸。數軸上的點和實數一一對應。這種對應關系，揭示了數和形的內在聯系，成為“數形結合”的基礎，使抽象的數變得有“形”可依。正因為數軸能形象地表示數，所以數軸是認數的直觀工具。

借助數軸比較數的大小，既生動直觀，也便于學生總結比較大小的方法。在數軸上右邊的數總比左邊的大，因此從左到右形成由小到大的數列。借助數軸上自然“綁定”的數序，在找到數的相應位置之時，就能比較出數的大小，這樣不僅能夠準確地判斷數的大小關系，而且還能夠直觀地感受“大多少”“小多少”，培養學生估計能力，同時也是數感建立的重要過程。

圖3

圖4

圖3中數軸以其直觀的形式，在比較大小中自然地找到了數的位置，并根據一個單位長度代表的數值估計1000在哪里；或者如圖4所示，數軸可以根據需要改變一個單位長度代表的數量，有根據地猜測更大的數大概在數軸的哪個位置上，充分感受數與形的結合帶給我們認數視覺上的沖擊。

所以數軸是我們應認真把握、充分利用的教學資源之一。

4.利用同心圓“點睛”數的組成

數的組成，是數的認識中一個比較重要的部分。數組成的實質是指數群和子群之間存在著的包含、互補和互換的關系。掌握了數的組成，是數群概念得以發展，進一步理解數之間關系的標志，也為學習加減運算打下了基礎。掌握數的組成比理解數的實際意義、序數、相鄰數都要困難。

數的組成，從理解的角度或過程來看，首先要知道某個數有幾級數位、各個計數單位及多少個這樣的計數單位。在實踐中，可以采用計數器，但更可以采用下面的同心圓來顯示不同計數單位的累積而組成的多位數。同心圓，直觀顯示相同計數單位的疊加過程，與不同計數單位上的數組成一個多位數的過程，既包含數數，又包括數的組成，尤其突出了數的組成，即某個數由多少個千、多少個百、多少個十、多少個一組成。

圖5

圖5中的兩個圖顯示的是520、204，可以問學生是怎么數出來的？分別是怎么組成的？兩個數中都有2或0，表示的意義一樣嗎？等等。

5.利用百格圖“點睛”小數的產生

現行人教版教材在描述小數的產生時，是這樣介紹的：在進行測量和計算時，往往不能正好得到整數的結果（圖6），這時也常用小數來表示，即古人在測量物體時得不到整數的結果，就發明了小數來補充整數。

據上所述，我們可以借助百格圖來揭示小數的產生過程。（圖7）

圖6

圖7

利用百格圖的意圖是在數的整體結構中認識小數。從1出發，向左十進制計數依次是1、10、100等，然后依據小數的產生，將1依次等分得到0.1、0.01、0.001……從圖形中理解數的變化，引導學生從中尋找不同與相同，在變化中看到不變，幫助學生理解小數與整數的關系，在遷移中理解。

6.利用數軸“點睛”真假分數的異同

分類是認識事物中十分重要的方法。通過比較真假分數，學生可以在掌握異同的基礎上進一步認識分數。在分類比較中，我們要注意：分數單位是認識真分數、假分數的重要點；其次，真分數與假分數都是分數整體中的一部分，將它們放在整體中進行比較更易突顯相同與不同。所以教學中可以緊扣用分數表示數軸上的點來比較概括，顯得“水到渠成”。

我們通過兩個層次的練習來比較異同：

（1）在下面的數軸上標出分數。（圖8）通過標出分數認識到分數是一個“大家庭”。這里有二個目的：一是在數軸上找分數的過程中，親身經歷把數軸從一個單位延伸到兩個單位、三個單位等；二是隨著數軸的延長，豐富分數的范圍，為分數的分類做好鋪墊。

圖8

圖9

（2）從段到點（圖9），將上述分數放到數軸上，學生通過觀察可以直觀地看到這一組分數的異同：分母相同，分子不同。于是學生想到了比較分子和分母的關系，并按照這個標準進行分類。通過進一步觀察，可以發現以為界，分子比分母小的分數集中在0～1之間的這一段上，而分子比分母大的分數則分布在從1開始向右的部分。通過討論得出分類標準，從而認識到真分數小于1，假分數大于或等于1。

綜上所述，可以看到這些數學模型能幫助學生通過感知、操作等體驗發現數、創造數，進而認識數。

[1]劉加霞.自然數概念的形成與發展及其對教學的啟示[J].小學教學:數學版，2007.

[2]肖蕾.小學數學“整數的認識”內容分析與教學研究[J].東北師范大學，2013.

[3]滕艷輝.以“無名”命“微數”——論中國十進制小數的起源與發展[J].遼寧師范大學學報(自然科學版)，2010.

[4]陳英和.兒童數量表征與數概念的發展特點及機制[J].心理發展與教育，2015.

[5]陳曦.三個課例看計數器對核心概念建構的價值[J].學周刊，2016.?