基于最小二乘小波支持向量機的股指波動率預測

耿立艷+張占福+梁毅剛

[摘 要] 為提高金融波動率的預測精度，用極差估算股指波動率，建立了基于最小二乘小波支持向量機（LS-WSVM）的波動率預測模型，以上證綜指和深證成指的日數據、周數據和月數據為數據樣本，通過LL、NMSE、NMAE指標驗證了LS-WSVM在波動率預測方面的有效性。結果表明，LS-WSVM用于波動率預測是有效的，對不同頻率波動率的預測精度優于高斯核LS-SVM，在預測較低頻率波動率中表現更好，不同小波核之間的預測精度相差不大。

[關鍵詞] 波動率；預測；最小二乘小波支持向量機

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 01. 042

[中圖分類號] F830.9；TP183 [文獻標識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2018）01- 0104- 04

1 前 言

金融衍生品定價、資產組合配置、金融風險測度及管理都離不開對波動率的準確預測。對波動率的準確預測，一方面有助于研究者進行資產定價、套利定價和期權定價的理論研究，另一方面有助于市場監管者對金融市場運行質量進行準確評估，同時又有助于投資者對投資組合進行合理配置，有效規避投資風險。為此，國內外學者不斷提出各種方法提高波動率的預測準確性。Engle和Bollerslev提出的自回歸條件異方差類模型[1-2]及其擴展形式以資產收益的條件方差估計波動率，能夠較好地刻畫波動率的各種特征，在波動率預測中占有重要地位。

為進一步提高波動率的預測精度，Donaldson等[3]將神經網絡（NN）與GARCH模型相結合預測股指波動率，Taylor[4]、Tae[5]分別利用NN預測股指波動率。這些研究證實，NN可以在一定程度上改善波動率的預測效果。但神經網絡以經驗風險最小化作為計算準則，在理論上存在三個問題：網絡結構難以確定、存在局部極小值、收斂速度慢。由Vapnik提出的支持向量機（SVM）[6]是當前重要的機器學習算法之一，有效解決了神經網絡遇到的問題。SVM的本質是求解一個帶約束條件的凸二次規劃問題，通過結構風險最小化準則，兼顧了學習算法的經驗風險和泛化能力，在非線性回歸和預測中表現優越。Perez-Cruz[7]利用SVM估計GARCH模型，進而提高了波動率的預測精度；Gavrishchaka[8]證實SVM的波動率預測效果優于“主流”波動率模型；陳詩一等[9]、王保華等[10]分別將SVM應用于波動率預測研究，證明了SVM的有效性。湯凌冰[11]利用小波核提高SVM非線性逼近能力，實證研究表明，基于小波核的SVM較基于RBF核的SVM具有更高的波動率預測精度。SVM算法的復雜性取決于數據樣本的個數，樣本越多，相應二次規劃問題求解越復雜，計算效率越低。

最小二乘支持向量機（LS-SVM）是SVM的一種擴展形式[12]，將最小二乘算法引入到SVM中，取代了SVM的二次優化算法，通過定義拉格朗日函數，并結合最優條件，將SVM中的二次規劃優化變換為線性方程求解，從而降低了算法的復雜性，提高了計算效率。Geng[13]成功地將LS-SVM應用于波動率預測研究。

核函數是LS-SVM模型的關鍵，LS-SVM的預測性能取決于核函數的選擇。以高斯核函數為代表的常見核函數，在回歸分析表現出較好的映射性能。但研究發現，這些已有核函數不能使LS-SVM逼近平方可積空間L2（R2）上的任意函數，致使LS-SVM 無法逼近任意的目標函數[14]。

最小二乘小波支持向量機（LS-WSVM）以小波核為核函數，利用小波函數的多分辨率提高LS-SVM的非線性處理能力[15]，在模式識別和非線性函數逼近等方面獲得應用。目前LS-WSVM在波動率預測領域的應用很少，本文將LS-WSVM應用于波動率預測研究，通過對上證綜指和深證成指不同頻率波動率的實證分析，檢驗LS-WSVM的有效性。

2 波動率的最小二乘小波支持向量機

金融經濟學研究中通常以方差估計資產收益的波動率。Parkinson證實極差能夠捕捉到更多金融市場的變化信息，以極差估計波動率要比傳統的樣本方差估計更有效[16]。極差Rt定義為：

Rt=100×（log Pt，high-log Pt，low）（1）

其中，Pt，high與Pt，low分別為t時刻資產的最高交易價與最低交易價。為了獲得更多數據變化信息，本文以當期和前4期極差的算術平均值估算波動率λt：

lt=Rt-k（2）

采用LS-WSVM算法建立波動率預測模型時，為減少預測誤差的累積，利用當期波動率預測下一期波動率，即LS-WSVM的輸入為當期波動率，輸出為下一期波動率。設波動率時間序列為∧={λ1，λ2，…，λn}，λt≥0，t=1，2，…，n，n為樣本個數，LS-WSVM通過非線性映射函數φ（ ），在高維特征空間中建立線性回歸模型為：

λt+1=ωTφ（λt）+b，t=1，2，…，n-1（3）

其中λt，λt+1∈R分別表示輸入和輸出變量，T表示“轉置”運算，ω，b分別表示權向量和閾值。根據結構風險最小化原理，LS-WSVM預測可表述為最優化問題：

J（ω，b，e）=||ω||2+et2（4）

式（4）中目標函數的第1項表示正則化項，第2項表示經驗誤差項，正則化參數γ用來調整正則化項和經驗誤差項之間的平衡，et∈R表示誤差。為求解以上優化問題，引入Lagrange乘子αt∈R，t=1，2，…，n-1，構建Lagrange函數：

L（ω，b，e，α）=J（ω，b，e）-αt（ωTφ（λt）+b+et-λt+1（5）

由Karush-Kuhn-Tucker條件，Lagrange函數分別對ω，b，e，α求偏導數并等于零，得到：endprint

ω=-αtφ（λt）αt=0λt+1=ωTφ（λt）+b+etγet=αt，t=1，2，…，n-1（6）

消去式（6）中的ω和e，可得到一組線性方程組：

0 HTH Ω+I/γba=01（7）

其中：H=[x2，x3，…，xn]T，Ωj=HtHjK（λt，λj），t，j=1，2，…，n-1。I為n-1階單位矩陣，α=[α1，…，αn-1]T，1=[1，1，…，1]。求解線性方程組獲得a和b值，LS-WSVM回歸模型為：

λt+1=αjK（λt，λj）+b（8）

其中，K（λt，λj）為核函數，K（λt，λj）=φ（λt）Tφ（λj），其形式決定了非線性映射函數和特征空間的結構，選擇合適的核函數成為提高LS-SVM性能的關鍵。由于波動率序列復雜多變，高斯核等常用核函數難以刻畫波動率的復雜變化特征。

核函數構建定理指出，滿足Mercer定理的平移不變小波核函數是允許的支持向量核函數[17]。現已證實，Mexican母小波、DOG母小波、Morlet母小波等都可構造出平移不變小波核函數。本文選取Mexican小波核作為核函數，具體形式如下：

K（xt，xj）=1-exp-（9）

其中，d為平移尺度因子，為伸縮因子。則Mexican小波核LS-SVM預測模型為：

t+1=αj1-exp-+b（10）

3 實證研究

3.1 數據的選取

將上證綜指（SHCI）和深證成指（SZCI）的日數據、周數據和月數據作為樣本進行實證分析，其中，選取2009年1月5日到2013年3月15日的每日觀測值作為日數據樣本，共1 019組數據序列；選取2005年1月7日到2013年3月15日的每周觀測值作為周數據樣本，共411組數據序列；選取1991年4月30日到2013年2月28日的每月觀測值作為月數據樣本，共263組數據序列。按式（1）和式（2）分別計算出日波動率、周波動率和月波動率，樣本總數分別為1 015個、407個和259個。

3.2 網絡學習及預測

為提高LS-WSVM的收斂速度，先對三組數據樣本進行歸一化處理，再分別將三組數據樣本分為訓練樣本和測試樣本。對日波動率，取前715個數據作為訓練樣本，后300個數據作為測試樣本；對周波動率，取前287個數據作為訓練樣本，后120個數據作為測試樣本；對月波動率，取前163個數據作為訓練樣本，后96個數據作為測試樣本。

為比較LS-WSVM的有效性，利用以高斯函數為核函數的LS-SVM模型（LS-SVM）預測SHCI和SZCI不同頻率的波動率，將預測結果與LS-WSVM的預測結果進行比較。

3.3 預測性能評價指標

選取對數誤差統計量（LL）、正則均方誤差（NMSE）和正則均值絕對誤差（NMAE）評價模型的預測性能，分別定義如下：

LL=N-1ln（t）-ln（Rt）2（11）

NMSE=（12）

NMAE=（13）

其中，N為預測樣本個數，t為預測的波動率，Rt為實際波動率。以上指標值越小，表明模型預測性能越好。

3.4 結果分析

LS-WSVM和LS-SVM分別對SHCI和SZCI的日波動率、周波動率和月波動率預測結果見表1、表2和表3。SHCI中，LS-WSVM對不同頻率波動率的LL、NMSE和NMAE均小于LS-SVM的對應值； SZCI中，除周波動率的NMAE外，LS-WSVM的LL、NMSE和NMAE均小于LS-SVM的對應值，表明整體上LS-WSVM對三種不同頻率波動率的預測精度優于LS-SVM。計算LS-WSVM和LS-SVM對應的預測性能評價指標差值，通過差值比較不同頻率波動率的預測效果。在三種不同頻率波動率中，LS-WSVM對月波動的預測效果最好，差值在0.000 3～0.001 7之間；對周波動的預測效果次之，差值在0.000 1～0.001 5之間；對日波動率的預測效果最差，差值在0～0.000 3之間。

圖1、圖2給出了LS-WSVM和LS-SVM分別對SHCI和SZCI不同頻率波動率的預測結果曲線圖。由兩圖可看出，LS-WSVM和LS-SVM都較好地預測了SHCI和SZCI不同頻率波動率的變化趨勢，LS-WSVM較LS-SVM更準確地預測出了較低頻率波動率的某些極值。

另選取DOG小波核、Morlet小波核作為LS-SVM核函數，分別對SHCI和SZCI的不同頻率波動率進行預測，形式如下：三種不同小波核LS-SVM的波動率預測結果如表4、5、6所示。由三表可知，小波核LS-SVM在不同頻率波動率預測精度方面優于高斯核LS-SVM，不同小波核之間的預測精度相差不大。

4 結 語

本文建立了基于小波核的最小二乘支持向量機波動率預測模型（LS-WSVM），利用上證綜指和深證成指不同頻率的實際交易數據樣本，以LL、NMSE、NMAE檢驗其有效性。實證研究結果表明，從提高波動率預測精度角度，采用小波核LS-SVM比高斯核LS-SVM更有效，LS-WSVM對較低頻率波動率具有更好的預測效果。

主要參考文獻

[1]Engle R F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation[J]. Econometrica， 1982， 50： 987-1008.

[2]Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics， 1986， 31： 307-327.endprint

[3]Donaldson R G， Kamstra M. An Artificial Neural Network-GARCH Model for International Stock Return Volatility[J]. Journal of Empirical Finance， 1997， 4： 17-46.

[4]Taylor J W. A Quantile Regression Neural Network Approach to Estimating the Conditional Density of Multiperiod Returns[J]. Journal of Forecasting， 2000， 19： 299-311.

[5]Tae H R. Forecasting the Volatility of Stock Price Index[J]. Expert Systems with Applications， 2007， 33： 916-922.

[6]Vapnik V N. An Overview of Statistical Learning Theory[J]. IEEE Transactions on Neural Networks， 1999， l0（5）： 988-999.

[7]Perez-Cruz F， Afonso-Rodriguez J A， Giner J. Estimating GARCH Models Using Support Vector Machines[J]. Quantitative Finance， 2003， 3： 1-10.

[8]Gavrishchaka V V，Supriya Banerjee. Support Vector Machine as an Efficient Framework for Stock Market Volatility Forecasting[J].Computational Management Science， 2006， 3：147-160.

[9]Chen S Y， H？覿rdle W K， Jeong K. Forecasting Volatility with Support Vector Machine-based GARCH Model[J]. Journal of Forecasting， 2010， 29（4）：406-433.

[10]Wang B H， Huang H J， Wang X L. A Support Vector Machine Based MSM Model for Financial Short-term Volatility Forecasting[J]. Neural Computing & Applications， 2013， 22： 21-28.

[11]湯凌冰，盛煥燁，湯凌霄.新型小波支持向量機在波動率預測中的實證研究[J].系統工程，2009，27（1）：87-91.

[12]Suykens J A K， Vandevalle J. Least Squares Support Vector Machine Classifiers[J]. Neural Processing Letters， 1999， 9（3）： 293-300.

[13]Liyan Geng， Zhanfu Zhang. CARRX Model Based on LSSVR Optimized by Adaptive PSO[C]//Proceedings of 2th International Conference on Computer and Management， Guilin， China， 2012， 268-271.

[14]武方方，趙銀亮.最小二乘Littlewood-Raley小波支持向量機[J].信息與控制，2005，34（5）：604-609.

[15]李軍，趙峰.最小二乘小波支持向量機在非線性控制中的應用[J]. 電機與控制學報，2009，13（4）： 620-625.

[16]Parkinson M. The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of Return[J]. Journal of Business， 1980， 53： 61-65.

[17]ZHANG Li， ZHOU Weida， JIAO Licheng. Wavelet Support Vector Machine[J]. IEEE Transaction on Systems， Man， and Cybernetics， Part B： Cybernetics， 2003， 34（1）： 34-39.endprint